La terra dentro una pallina

On October 25, 2017

Traduzione libera di Barbara Nelli dell’articolo "Comment réduire une sphère sans changer les distances" di Clément Dufrenne et Sean Bailly, apparso su Pour la Science, la versione originale potete trovarla qui.

Far entrare la terra dentro una pallina da ping-pong, conservando le distanze tra i punti, sembra impossibile e invece un’équipe di ricercatori francesi, matematici e informatici è riuscita a realizzare quest’impresa.  Cerchiamo di capire come. I membri del progetto Hévéa delle Università di Lyon e Grenoble sono riusciti a realizzare quest’ oggetto impossibile. Non sono nuovi a questo tipo d’impresa: cinque anni fa erano riusciti ad ottenere una rappresentazione tridimensionale di un toro piatto.

Ridurre il volume occupato da una sfera rigida che non può essere né ingrandita né contratta, conservando le lunghezze sulla sua superficie (si dice fare una deformazione isometrica) non è facile. Questo è un problema antico, che ha origine nei lavori del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, sulla regolarità delle superfici.

Prendiamo una pallina da ping-pong, che rappresenta bene una sfera rigida. Se la premiamo leggermente con le dita, non si deforma, se invece spingiamo più forte si forma un’ammaccatura e appaiono angoli e spigoli. La sua superficie non è più regolare. In matematica si dice che il livello di regolarità si è abbassato. È diventato C^0 mentre il massimo della regolarità si chiama C^{\infty}. Tra C^0 e C^{\infty} ci sono molti livelli: C^1, C^2 etc.

Molte superfici che ad occhio nudo sembrano lisce, ovvero C^{\infty}, non lo sembrano più, quando, per osservale, si usano metodi più accurati. Anche le trasformazioni che portano una superficie in un’altra possono avere vari livelli di regolarità: C^0C^1...C^{\infty}.

Nel 1827, Gauss ha dimostrato che una certa grandezza, la curvatura di Gauss, deve restare invariata quando si fa una trasformazione isometrica di livello almeno C^2. Un calcolo mostra però che la sfera ridotta, ottenuta dai ricercatori dell’équipe Hévéa, non ha la stessa curvatura di Gauss della sfera iniziale, quindi la riduzione della sfera produce una superficie che al massimo è C^1. L’esperienza della pallina da ping-pong mostra che la sua superficie dopo la trasformazione, ovvero con le ammaccature, è C^0.

Per molto tempo i matematici si sono domandati se fosse possibile ottenere una sfera ridotta di livello C^1 oppure se ci fosse qualche argomento rigoroso che dimostrasse che ciò non era possibile.

La risposta è arrivata nel 1954, con i lavori di John Nash e Nicholas Kuiper sul teorema di immersione. Il risultato di questi  due grandi matematici implica  che le superfici C^1 non sono abbastanza regolari per potervi definire la curvatura di Gauss. Ciò suggerí che si potessero creare degli oggetti impossibili come delle sfere ridotte senza ammaccature. Ma come? Abbiamo dovuto aspettare i lavori di Benoît Mandelbrot sui frattali per sviluppare gli strumenti necessari a capire la geometria delle superfici C^1 ed i lavori di Mikhaïl Gromov che, negli anni ottanta, aprirono la strada ad un possibile metodo per costruire gli oggetti impossibili.

Ma la teoria di Mikhaïl Gromov era molto difficile e astratta e ci sono voluti anni per comprendere come sfruttarla. Tra il 2013 ed il 2016, Vincent Borelli ed i suoi colleghi sono riusciti a semplificare e adattare l’approccio di Gromov al caso della sfera. “Con i miei colleghi, non avevamo idea di cosa avremmo ottenuto” dice Boris Thibert, membro dell’équipe, “ci sono molti cammini possibili per applicare il metodo di Gromov, ne abbiamo scelto uno per arrivare a questo modello”.

Diamo qualche dettaglio tecnico sul percorso che i ricercatori del progetto Hévéa hanno fatto. Hanno scomposto la sfera (la palla da ping-pong) in tre parti: due calotte intorno ai poli ed una striscia intorno all’equatore. La misura delle calotte è stata scelta in modo da farle entrare in una sfera più piccola, senza deformarle, mentre è la striscia equatoriale a subire le trasformazioni isometriche. Piegando la striscia, ripetutamente, seguendo uno schema preciso, si formano delle pieghe che si impilano all’infinito e la cui ampiezza aumenta avvicinandosi all’equatore. “È come una ricetta di cucina, che si costruisce passo dopo passo” spiega Boris Thibert “ad ogni tappa, si cerca di scegliere il numero giusto di pieghe equatoriali”. Ma non basta! Un’altra variabile importante del procedimento è la direzione in cui le pieghe vengono fatte. Per il modello progettato, si voleva ridurre la sfera in un volume di due volte minore ed è stato necessario alternare tre direzioni di piega.

Seguire questa ricetta  non è sufficiente. I problemi da risolvere per ottenere la sfera ridotta sono molti. Ad esempio riattaccare le calotte alla striscia equatoriale è un affare delicato: bisogna risolvere un’equazione differenziale con valori al bordo fissati.

A prima vista, la sfera ridotta ricorda un po’ la geometria dei frattali, ma è tutta apparenza: i frattali hanno degli spigoli e quindi sono C^0, mentre qui le superfici sono di classe C^1 (frattali C^1?).

Inoltre l’aspetto delle pieghe della sfera ridotta ricorda quello del toro piatto che l’équipe Hévéa aveva ottenuto nel 2012 usando sempre la teoria di Gromov.

Ma…c’è un limite alla riduzione della sfera usando l’algoritmo dell’équipe Hévéa? La risposta è no. Il fattore di riduzione, che per questo modello è due, può essere aumentato di molto. Con calotte più piccole ed una striscia equatoriale con molte pieghe in più, si potrebbe mettere la terra in una pallina da ping-pong!

E se volete capire i dettagli e vedere delle belle immagini andate qui.

 

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