Inizia così una nuova rubrica di MaddMaths “Spazio agli Spazi!”, a cura di Sandra Lucente, che si occuperà di dimensioni. Ogni mese un piccolo racconto per visitare mondi dimensionalmente diversi. Chiunque voglia collaborare è benvenuto!
Apparso originariamente il 7 Gennaio 2017.
DIMENSIONE ZERO: IL PUNTO
di Antonio Lotta e Sandra Lucente
Chi lo incontra si ferma, caro lettore. Punto.
Questo simbolo divide gruppi di cifre e lettere, caro 124.578esimo visitatore di maddmaths.simai.eu . Punto.
A volte abbrevia, caro Prof., Dott. che forse stai curiosando qui. Punto.
Ma ci siamo mai stati dentro il mondo-punto? Stretto, come il punto temporale in cui prendiamo le decisioni. Punto. Senza possibili direzioni come il punto all’infinito in cui tutti i nostri pensieri convergono in certi magici momenti di intuizione. Punto.
Euclide ci aveva provato ad entrare nel mondo-punto e ne aveva scoperto l’interezza: “Il punto è ciò che non ha parti”. Fu talmente colpito da questo giocattolo che lo pose come prima definizione del libro primo degli Elementi. Più che una definizione sembra una similitudine poetica. Un omaggio al costituente di tutta la narrazione successiva. Punto.
Cercando di puntualizzare (ops…), Hilbert dovette rinunciare a definire il mondo-punto. L’interezza divenne il fondamento. Punto, retta e piano sono concetti primitivi, non si discutono. Punto.
Whitehead lo rifiutò e immaginando una Geometria senza punti suggeriva di vivere in regioni astratte. Punto.
E prima di Euclide? Non appunto ma ad-puncto. Il punto non è il segno, è un sogno. Non vi è una ragione plausibile per cui un uomo avrebbe dovuto tracciare un punto isolato, quindi possiamo immaginare che lo abbia dapprima guardato e poi rappresentato. Tutti quei punti lontani nella notte. Stelle dicevano, e disegnavano la volta celeste con punti gialli. E il punto ha ricambiato il favore quando, diventato oggetto geometrico, si è concesso di essere il centro di una stella di rette. Senza troppa poesia, disegnare le stelle serviva ad orientarsi: fu allora, su quelle navi di gente coraggiosamente curiosa, che il punto divenne per la prima volta coordinata e la stella polare dette la prima idea del più importante Teorema di Analisi Funzionale: il punto fisso.
A questo lirismo primitivo si oppone il realismo euclideo, che non volendo conoscere lo zero, preferisce descrivere l’assenza come quello che “non” ha. Il punto NON ha parti, NON ha grandezza e NON ha dimensione. Quando ci sarà una misura, il punto avrà misura zero. Quando ci sarà una dimensione, il punto avrà dimensione zero.
I “non” euclidei verrano capovolti senza troppe remore. Nella sostanza “Il punto è ciò che non ha parti” sarà soppiantato da “Il punto è ciò che è parte”, nel senso che “appartiene” a qualcos’altro. Oggigiorno, praticamente qualsiasi proposizione affermata nella matematica moderna ed ogni QED conquistato non può non nominare un punto. Qualche esempio?
Le funzioni sono regole per trasformare punti in altri punti.
La derivata si calcola in un punto.
Se la curvatura è puntualmente costante, allora lo è globalmente.
Persino i vati della Geometria Differenziale Sintetica, incoerente con la logica classica, non rinunciano a scrivere i loro lavori nello stile “naive”, cioè come se i loro infinitesimi nilpotenti fossero proprio punti della retta reale.
Insomma, contrariamente a quanto pensava Whitehead, senza il concetto di punto in geometria non si passa. D’altra parte il punto è il passaggio prediletto: in geometria euclidea tra due punti distinti passa solo una retta. Per tre punti distinti passa un solo piano. Per tre punti distinti passa una sola circonferenza. Ma possiamo asserire queste cose solo guardando il mondo-punto dentro altri mondi.
L’universo matematico sembra un dipinto di Signac; il punto è il suo atomo. Eppure in fisica l’atomo si scompone. Il punto fisico contraddice Euclide e inizia ad avere parti.
Se in Euclide il punto serviva ad iniziare, in Joyce serve per chiudere. In Itaca (penultimo capitolo dell’Ulisse) l’ultima di 309 domande di “catechismo matematico” è «Dove? ». E l’ultima risposta è «.» Punto.
In copertina: Paul Signac. Entrata nel porto di Honfleur
Salve, sono Francesco. Ottima rubrica, questa sugli spazi n-dimensionali, che da ragazzo mi hanno fatto appassionare alla matematica, poi ho incontrato i numeri primi, i numeri di Fibonacci, ecc. Seguirò le puntate successive, e vorrei anche collaborare. Per esempio, sui problemi del millennio, che sembrano connessi a dimensioni superiori: la congettura di Poincarè, ormai dimostrata, aveva problemi con la terza simensione, le equazioni di Navier – Stokes pure ma non ancora risolti, la congettura di Yang – Mills con la quarta dimensione, la congettura di Hodge con tutte le dimensioni, e nell’ipotesi di Riemann si parla di paesaggi complessi quadrimensionali. Inoltre, la fattorizzazione veloce (problema di P = NP, ma ancora non si sa bene) prevede un crivello quadrato di semi-primi
N = p*q e quindi bidimensionale, mentre i semplici numeri primi sono su una retta numerica mono-dimensionale (come pure gli zeri della funzione zeta); e infine, nella congettura di Birch e Swinnwrton – Dyer, si è parlato finora solo di triangoli congruenti (bidimensionali), ma non ancora di teoricamente possibili solidi congruenti, tridimensionali, costruiti sui triangoli congruenti (ci penseremo magari in seguito).Intanto, però, vediamo prima le connessioni con problemi più semplici, tramite la vostra interessante rubrica, per infine eventualmente passare a questi problemi più grossi.. da un milione di dollari per chi riesce a risolverli! Grazie per l’attenzione, Francesco.