Sono il solito distratto ed urto accidentalmente un bicchiere di vino sulla tovaglia: fin dove si espanderà la macchia? Il suo bordo (la sua ‘frontiera’) è ben libero di muoversi…
Chiariamo subito: non si tratta di uno slogan a favore degli accordi di Schengen o di altri trattati relativi alla circolazione tra Stati. Anche se, in effetti, la parola “frontiera” in matematica ha esattamente il significato usuale: la regione di separazione tra domini diversi. Ad essere precisi, secondo l’usuale vizio dei professionisti dei numeri, la “frontieradi un insieme” è la collezione di quei punti che possiedono, a distanza ravvicinata, sia punti che appartengono all’insieme stesso che punti che non vi appartengono. Si tratta quindi di una linea, o superficie, o, più in generale, che demarca tra il dentro ed il fuori, come può esserlo la linea terminale di un ghiacciaio che distingue la zona gelata dal resto.
In che senso una frontiera può essere libera? In molti problemi, le zone di confine sono fissate una volta per tutte, stabilite da condizioni esterne, immutabili nel tempo, per lo meno nel periodo di osservazione del fenomeno. Un esperimento di laboratorio relativo, ad esempio, su una popolazione di batteri viene spesso condotto all’interno di una capsula di Petri. Tutta la dinamica si svolge all’interno di questa specie di gabbia cilindrica e trasparente che determina, una volta per tutte, il terreno di gioco. Il numero di batteri, i loro spostamenti, i loro tassi di natalità e mortalità possono cambiare al variare delle condizioni e quindi al variare del tempo, ma la regione di vita è sempre la stessa: un cerchio di diametro di una decina scarsa di centimetri.
In altri casi, invece, le regioni di osservazione variano nel tempo. Sono il solito distratto ed urto accidentalmente un bicchiere di vino sulla tovaglia: fin dove si espanderà la macchia? All’inizio il liquido era localizzato in una zona di diametro di tre/quattro centimetri e ora si è già allargata di due o addirittura tre volte. Quanto tempo ho per cercare di limitare i danni ed intervenire prima che arrivi sul bordo della tavola e cominci a rovinare, irreversibilmente!, il preziosissimo tappeto orientale dei miei ospiti?
In entrambi i casi, la zona riempita dal liquido (il vino sulla tovaglia, il livello dello tsunami) non è stabilita a priori, ma varia nel tempo e, quando si vuole costruire un modello matematico capace di prevederne l’evoluzione, essa deve essere considerata come una incognita aggiuntiva.
Il problema prototipo che rientra in questa categoria è detto “problema di Stefan” e consiste nella descrizione dell’evoluzione della temperatura in un mezzo omogeneo che sta subendo una transizione di fase come, ad esempio, il passaggio da acqua a ghiaccio. I due stati sono ben diversi tra loro: per far capire, la capacità di diffusione del calore dell’acqua è sensibilmente più piccola di quella del ghiaccio e, per una buona descrizione, occorre usare parametri diversi e, talvolta, leggi diverse.
Occorre quindi una descrizione per il ghiaccio e una per l’acqua.
Ma occorre anche una descrizione aggiuntiva che riguarda la transizione ghiaccio/acqua e che determina in che maniera si sposta la frontiera di separazione. Tutto è interconnesso: l’evoluzione della distribuzione di temperatura nella parte ghiacciata dipende dalla forma del dominio e dalla sua evoluzione, che è condizionata, a sua volta, dalla dinamica della parte ghiacciata.
E’ qui che gioca, ancora una volta, una delle doti principali della matematica: l’universalità.
Chi può dirlo? Forse l’aver versato accidentalmente quel bicchiere di vino a casa dei miei amici, mi aiuterà a scegliere un investimento migliore per i miei risparmi. Non tutto il male viene per nuocere…
Corrado Mascia
