Come matematici, in qualche modo, ci sentiamo in parte costruttori di mappe. Esploriamo strutture e mondi paralleli, raramente reali, più spesso realistici se non surreali, e cerchiamo di costruire carte geografiche che ne descrivano la forma e la struttura. Quando, lungo la strada percorsa, il panorama cambia in maniera radicale, ci troviamo a contemplare (con soddisfazione e curiosità) l’apparizione di quella che chiamiamo “biforcazione”. Quel punto preciso separa paesaggi con caratteristiche e tipologie significativamente diverse.
Nel concreto, l’esplorazione si svolge all’interno del nostro cervello e, al più, lungo il foglio di carta (reale o virtuale) con cui ci guardiamo intorno. Il camminare si traduce nel far variare un parametro (o più) insito nell’oggetto considerato. Così, capita che, al passaggio da sotto a sopra una qualche soglia critica, si venga spiazzati da un cambiamento topologico, che rende la corrispondenza tra il prima e il dopo possibile solo rinunciando alla continuità. Una soluzione d’equilibrio può scomparire o persistere, cambiare di stabilità, o trasformarsi in una struttura più complessa. Un punto può diventare una curva chiusa; due cicli limiti scomparire in un fragoroso scontro frontale. E’ lì, nel punto di passaggio tra una situazione e l’altra, che bisogna lasciare un segnale dall’allarme: “Attenzione: Punto di biforcazione!”.
La questione si applica a oggetti ben diversi tra loro: curve e superfici reali o complesse, varietà o fibrati, campi vettoriali, equazioni differenziali ed equazioni integrali. Un caso specifico è l’iterazione di mappe: scelta una funzione, a partire da un numero di partenza, si genera la sequenza ottenuta applicando una, due, tre, cento, mille volte la funzione assegnata. Dopodiché, si segue il destino di questa successione infinita di numeri domandandosi dove intenda andare a parare dopo infinite iterazioni. Quando la funzione prevede la scelta di uno (o più) parametri, ci si mette alla caccia dei punti di biforcazione, cioè dei valori che determinano un cambiamento nella tipologia di comportamento asintotico della sequenza. Non serve necessariamente cercare espressioni complicate, basta anche il polinomio 1-cx^2 con parametro il coefficiente c. Per valori di c piccoli, la sequenza si stabilizza verso un valore limite (che varia al variare del parametro). La storia cambia quando il valore di c supera lo soglia critica 0.75: la successione comincia ad oscillare tra due valori senza preferenze né per l’uno né per l’altro. Se avete un computer sotto mano, toccate con mano.
L’uso del termine “biforcazione” è un prodotto linguistico di Henri Poincaré, che lo usa, per la prima volta, nella discussione di fine Ottocento delle configurazioni di equilibrio di un fluido rotante, sottoposto alla sua forza di gravità. Si tratta, niente di meno, del tentativo di prevedere e spiegare, a colpi di equazioni, se e perché i pianeti e le stelle siano sferici, o altro, scoprendo così l’esistenza di un gran numero di configurazioni possibili, quali gli sferoidi di MacLaurin e gli ellissoidi di Jacobi. Considerando come parametro di biforcazione il momento angolare del sistema, si incontra un preciso passaggio di stabilità dal primo al secondo tipo di configurazione in corrispondenza di un valore di transizione ben preciso.
Proseguendo per questa strada, si possono incontrare molteplici tipi di biforcazione, ognuno con una sua tipologia specifica. In alcuni casi, il nome è tecnico: biforcazione sub-critica, super-critica, tran-critica…
Descrittivo in altri: biforcazione a cuspide, a forcone…. Altre volte è associato ai nomi degli scopritori: biforcazione di Andronov–Hopf, di Bogdnaov–Takens, di Bautin… Fino ad arrivare a terminologie più colorite come la “catastrofe del cielo-blu” (in inglese, blue-sky catastrophe). A forza di biforcazioni successive, le strutture crescono in complessità e ricchezza. E, nel seguire questo percorso tappezzato di bivi e diramazioni, con paesaggi che cambiano, mutano, si trasformano, si finisce per toccare, di frequente, le porte del caos.
di Corrado Mascia
