Recentemente il famoso matematico Terence Tao ha annunciato di aver dimostrato una congettura di Erdős conosciuta come il problema della discrepanza. Vediamo se si riesce a spiegare in modo semplice di cosa si tratta.

di Alessandro Zaccagnini

Qualche giorno fa Terence Tao ha annunciato (qui e qui) di aver dimostrato una congettura di Pál (Paul) Erdős, nota come il problema della discrepanza. Terence Tao è noto al grande pubblico per aver ricevuto la Medaglia Fields nel 2006, e per l’ampiezza e la varietà dei suoi interessi matematici, tale da fargli meritare l’appellativo dantesco di “uomo dal multiforme ingegno”. Pál Erdős è probabilmente il matematico che ha scritto il più gran numero di articoli scientifici con moltissimi collaboratori diversi, ed è famoso per aver posto una quantità di problemi, per la soluzione dei quali talvolta offriva premi in denaro. Molto spesso questi problemi hanno una formulazione apparentemente elementare, dietro cui si nasconde una realtà molto più profonda.

Anche in questo caso il problema è abbastanza semplice. Considerate una qualsiasi successione infinita di $$+1$$ e $$-1$$. Ci saranno cose del tipo

$$+1-1+1+1+1-1+1+1+1\dots$$

oppure

$$-1-1-1-1-1-1-1-1-1\dots$$

o ancora

$$+1-1+1-1+1-1+1-1+1\dots$$

Se vogliamo formalizzare il problema in modo matematico, in pratica abbiamo una funzione f , definita sui numeri naturali, che può assumere solo i valori $$+1$$ e $$-1$$, per esempio:

$$f(1)=+1, \ f(2)=-1, \ f(3)=-1,\ f(4)=+1,\ \dots $$

Ora consideriamo la somma dei suoi primi 100 valori. Il risultato deve essere compreso tra +100 e −100 (al massimo abbiamo tutti $$+1$$ o tutti $$-1$$) e anzi, è ragionevole pensare che, se i valori di f sono distribuiti “a caso,” il risultato sarà molto piú piccolo di 100, perché magari alcuni dei $$+1$$ si cancellano con i $$-1$$. In realtà il numero 100 non ha niente di speciale: se decidiamo di sommare i primi N valori, il risultato non supera N in valore assoluto (ossia non può essere maggiore di N né minore di −N ). Fra tutte le funzioni possibili, ve ne sono due per cui il risultato in valore assoluto vale esattamente N (quella che assume solo il valore $$+1$$ e quella che assume solo il valore $$-1$$). D’altra parte, se f assume alternativamente i valori $$+1$$ e $$-1$$, la somma dei primi N valori vale 0 se N è pari, e 1 se N è dispari.

Con un po’ di pazienza, è possibile “costruire” funzioni f per cui si hanno comportamenti intermedi. Se prendiamo la funzione periodica di periodo 3 che assume ciclicamente i valori $$+1$$ , $$+1$$ e $$-1$$, la somma dei primi N valori vale circa N / 3 (il valore esatto dipende dal resto della divisione di N per 3). Mediante piccole variazioni di questo esempio, possiamo costruire funzioni che danno risultati simili.

Erdős però non si è accontentato di studiare solamente il comportamento della somma dei primi N valori, ma ha considerato quello che succede facendo, piú in generale, la somma dei valori della funzione f calcolata nei primi N multipli di un certo numero naturale q, cioè $$q$$, $$2 q$$, $$3 q$$, $$\dots$$, $$N q$$. Naturalmente, anche in questo caso il valore assoluto delle somme in esame non può superare N , come detto sopra, perché ci sono solo N addendi.

La domanda di Erdős è questa: esiste una funzione f per cui tutte queste somme, al variare di N e q tra tutti i numeri interi positivi, sono limitate (in valore assoluto) da una certa costante C? La costante C potrebbe essere molto grande, per esempio 1 googol, cioè 1 seguito da 100 zeri, o addirittura 1 googolplex, cioè 1 seguito da 1 googol di zeri. Il punto non è quanto sia grande C, ma il fatto che abbia un valore finito. Insomma, la domanda di Erdős è se questo tipo di successione finisce per andare all’infinito (ossia alla fine prevalgono i $$+1$$ o $$-1$$), oppure si riesce a mischiare i valori talmente bene che, anche prendendo quelle sottosuccessioni speciali, i $$+1$$ e $$-1$$ si annullano parzialmente tra di loro, per cui la loro somma rimane finita.

Terence Tao ha dimostrato che, qualunque sia f e per quanto grande sia la costante C, è possibile trovare un valore di N ed uno di q per cui il valore assoluto delle somme definite sopra supera C. La dimostrazione è naturalmente piuttosto tecnica e indiretta: ci limitiamo ad osservare che Tao dimostra che se esistesse una f per cui tutte le somme di cui sopra sono limitate, allora sarebbe possibile trovare una funzione g con la stessa caratteristica, ma che, inoltre, finge (sic!) di essere un cosiddetto carattere di Dirichlet. Questi caratteri sono stati introdotti nella prima metà dell’Ottocento da Pierre Lejeune Dirichlet nei suoi studi sulla distribuzione dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche e trovano tuttora innumerevoli applicazioni. La proprietà fondamentale dei caratteri è che sono funzioni periodiche e che $$g(nm) = g(n)g(m)$$ per tutti gli interi positivi $$n $$ e $$m$$. È quindi indispensabile dare una definizione rigorosa, e soprattutto quantitativa, di cosa significhi che f finge di essere g, ed è questo uno dei punti fondamentali della dimostrazione di Tao.

Una caratteristica tipica della matematica di alto livello è che i suoi metodi sono applicabili anche a problemi diversi da quelli per cui sono stati sviluppati la prima volta. La dimostrazione di Tao non sfugge a questa regola e si applica a situazioni molto piú generali: ne discutiamo una, non per amore dell’astrazione fine a sé stessa, ma perché è possibile visualizzare questa particolare versione del problema.

Consideriamo dunque il caso di una funzione f che a ogni numero naturale associ un punto sulla superficie di una sfera di raggio 1 con il centro in 0. In altri termini, a ogni numero n, la funzione associa un vettore di lunghezza 1. Di nuovo, consideriamo la somma dei valori di f sui primi N multipli di un intero q, facendo variare N e q fra tutti gli interi positivi. La somma dei valori non è altro che la somma di N vettori, e non piú di N numeri interi come prima. La domanda diventa: esiste una funzione per la quale tutte queste somme di vettori sono contenute dentro una sfera di raggio (eventualmente enorme) finito? La risposta, appena trovata da Tao, è ancora una volta no.

Un’altra caratteristica interessante di questo lavoro è che in parte è basato sui risultati del lavoro in collaborazione di un largo gruppo di matematici. Infatti, nel 2010, il matematico inglese Timothy Gowers aveva lanciato il Quinto progetto Polymath, un’iniziativa collettiva condotta sul web, a cui avevano partecipato tanti matematici professionisti, tra cui lo stesso Tao, e anche semplici amatori, per risolvere proprio la congettura della discrepanza di Erdős- Questo Polymath, pur non riuscendo a risolvere completamente il problema, ha contribuito a chiarire alcuni aspetti importanti collegati al problema della discrepanza ed ha aperto le porte alla dimostrazione definitiva di Tao.

Per concludere, la risposta a questo problema di Erdős contribuisce a chiarire la struttura profonda dei numeri e delle loro proprietà moltiplicative. Per quanto sia un’operazione elementare, la moltiplicazione ha proprietà complesse che tra l’altro la rendono adatta per applicazioni come, per esempio, la crittografia. E per i prossimi problemi ci sarà ancora bisogno di riunire nuovi gruppi di amici.