V come varietà

On February 18, 2013

Il vocabolo non tragga in inganno: ci stiamo riferendo proprio alla possibilità di lasciar correre la fantasia e modellare, con la matematica, mondi e forme diverse, noiosamente uguali a sé stessi in certi casi, sorprendenti ed imprevedibili in altri. In inglese, il termine è "manifold'", e si riferisce a un oggetto dalle "molte forme"...


Il vocabolo non tragga in inganno: ci stiamo riferendo proprio alla possibilità di lasciar correre la fantasia e modellare, con la matematica, mondi e forme diverse, noiosamente uguali a sé stessi in certi casi, sorprendenti ed imprevedibili in altri. In inglese, il termine è "manifold'", e si riferisce a un oggetto dalle "molte forme" (possibili, aggiungo io). In più, "fold" suggerisce l'idea del piegare o del modellare in genere, il che indica che una varietà non è altro che il risultato di una manipolazione opportuna di un blocco di sostanza malleabile come l'argilla.
In effetti, sfugge alle volte che il matematico è a suo modo un plasmatore di sostanze con l'unica differenza, rispetto allo scultore usuale, che la sua è materia ideale, composta di geometrie tangibili solo con la forza del pensiero e delle formule.
Così come nel campo dell'arte i materiali possibili abbondano - la creta da plasmare, il marmo da scolpire, la tela da tagliare e strappare - anche tra le varietà c'è... gran varietà: varietà topologiche, differenziali, simplettiche, riemanniane, analitiche, lorentziane, finsleriane e compagnia bella. E non basta. In futuro arriveranno nuovi matematici e proporranno nuove varietà, ciascuna con un suo nome distintivo che ne caratterizza le proprietà e gli strumenti di lavorazione.
Ma c'è un denominatore comune. Quando si prende una varietà e se ne guarda una porzione sufficientemente piccola si riconosce una struttura simile in tutto e per tutto a qualcosa di semplice e familiare: una linea retta nel caso ad una dimensione, un piano nel caso a due dimensioni, e così via, salendo di dimensione in dimensione, avendo fantasia e coraggio a sufficienza. A questa porzione piccola e piatta che vediamo da vicino, se ne aggiunge, in soluzione di continuità, una seconda con le stesse proprietà, e poi una terza, e una quarta e così via dicendo. E seguendo passo passo questa sequenza di piccole parti, all'apparenza e da vicino, tutto può sembrare uguale a sè stesso. A questo punto, trattenendo il fiato, vale la pena allontanarsi per provare ad avere una visione d'insieme.  Il risultato finale di questo incollamento di parti semplici può non essere particolarmente sorprendente: può capitare che ogni parte segua la collocazione della precedente, riproducendo sempre la stessa figura. E' il caso ad esempio di una retta infinita, in cui ogni parte è uguale al tutto, tanto da perdere il senso delle proporzioni e delle distanze e non essere in grado di capire se ci si trova vicino o lontano.
Altre volte, al contrario, ci si accorge che in quell'inseguimento di piccole parti ripetute e ripetitive, si sono compiute, senza accorgersene, giravolte e contorsioni, capriole e curvature e che l'oggetto finale che si è costruito in questo incollamento di parti manifesta proprietà geometriche rivoluzionarie diverse da quelle che qualsiasi analisi locale è in grado di descrivere. Appaiono circonferenze, sfere e ciambelle (detti "tori"). E ancora, spazi inimmaginati come la bottiglia di Klein, in grado di essere una superficie chiusa e, allo stesso tempo, senza interno né esterno e che, a dispetto della sua natura bidimensionale, non può essere vista se non lanciandosi  - e che Dio ce la mandi buona! - in uno spazio quadri-dimensionale. Appaiono strutture come le varietà sviluppate in Teoria della Relatività in cui, a differenza di quello che la nostra percezione quotidiana suggerisce, curvano lo spazio e il tempo con tale forza da riuscire a fermare lo scorrere delle lancette dell'orologio in regimi opportuni (che difficilmente saremmo in grado di frequentare senza l'uso della matematica).
E' solo una questione di prospettiva: alzando lo sguardo, alla ricerca di una visione di insieme, si scopre che quello che da vicino sembra alle volte sempre uguale a sé stesso, riserva invece una straordinaria e sterminata varietà. Differenziale.

Corrado Mascia

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