Carl Friedrich Gauss. Ovvero: come ho imparato a non preoccuparmi e ad amare le geometrie non euclidee

On March 11, 2018

In questo articolo voglio parlare delle geometrie non-euclide anche toccando, in maniera più effimera che superficiale, il problema che la loro esistenza pose al pensiero Kantiano. Cominciamo allora con un breve ripasso di geometria Euclidea. Come si costruisce questo edificio Euclideo? Si comincia con un insieme di assiomi, principi evidenti che non c’è bisogno di dimostrare. Usando questi principi come fondamenta, si dimostrano proposizioni più complicate. Si dimostra, si dimostra, si dimostra e voilà (o meglio eureka!), ecco a voi la geometria euclidea.

Ecco qua i primi quattro dei cinque assiomi della geometria Euclidea, quelli originali, scritti da Euclide, tanto per dare una idea.

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
  2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
  4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;

Il metodo assiomatico suggerito da Euclide, per quanto rivoluzionario, è un po’ approssimativo per gli standard moderni. Infatti, alla fine del 1800 fu scrupolosamente rivisitato da Hilbert, che riuscì a ricostruire la geometria euclidea partendo da più o meno 20 assiomi. A dire il vero, è possibile farlo con meno di 20 ma l’approccio di Hilbert è quello che meglio conserva il sapore degli assiomi euclidei. Ma questa è un’altra storia.

Non vi ho ancora detto dell’assioma numero cinque. Ma lo conoscete tutti! È quello delle rette parallele che dice, nella sua forma più moderna, la cosa seguente:

Per un punto passa una e una sola parallela ad una retta data,

dove parallela vuol dire senza intersezione.

A Euclide questo assioma non piaceva proprio. Probabilmente perché non era così evidente come gli altri quattro. Il fatto che due rette non abbiano punti in comune, anche se uno può tracciarle indefinitamente, è a dir poco problematico da controllare. Per questo motivo, nel costruire il suo edificio geometrico, Euclide cerca il più possibile di evitare l’uso del quinto assioma. Ed è così che comincia la sfida, la corsa matematica a dimostrare che il quinto assioma non è necessario, che è una conseguenza dei primi quattro. Sono forse troppi i matematici che hanno accettato quella sfida da non poterli elencare tutti e fare giustizia quindi… non ne elenco nessuno! Ma ci sono tanti italiani!

Un modo per dimostrare che il quinto assioma non è necessario è il seguente: ottenere  una contraddizione, una volta negato il quinto assioma. Ora, il quinto assioma può fallire in due modi.

Modo A: Per un punto non passa nessuna retta parallela ad una retta data;

Modo B: Per un punto passano più di una retta parallela ad una retta data.

Ovviamente, tutti i tentativi di ottenere una contraddizione furono vani. Alla fine, qualsiasi matematico che pensava di avere ottenuto una contraddizione, aveva inevitabilmente assunto come evidente una proposizione equivalente al quinto assioma, come ad esempio il fatto che la somma degli angoli di un triangolo sia 180 gradi. Tuttavia, questi fallimenti, furono estremamente utili al contrario, ovvero per descrivere le proprietà delle geometrie non-euclidee e farne maturare la scoperta. Le geometrie non-euclidee sono edifici matematici dove sono assunti come veri i primi quattro assiomi della geometria euclidea, e una delle due possibili negazioni, modo A o B, del quinto assioma. La meticolosa costruzione delle geometrie non-euclidee viene solitamente attribuita al lavoro indipendente di tre matematici Bolyai, Gauss e Lobachevsky.

Ed eccoci arrivati al punto di questo articolo in cui mi voglio cimentare in una frettolosa digressione filosofica. Non me ne vogliano i miei lettori, se ne esistono, filosofi di professione. Come si debba spartire il merito tra i tre sopraddetti paladini delle geometrie non-euclidee è una storia lunga e tortuosa. Sta di fatto che Gauss racconta di avere ritardato l’esposizione della sua scoperta per paura di scatenare una grossa polemica. Sarà vero? Ad ogni modo, il problema sarebbe stata la filosofia di Kant. In poche parole (e probabilmente sbaglio) Kant aveva detto che l’unica geometria concepibile fosse quella euclidea, che trovava la propria naturale applicazione nella fisica newtoniana. Al giorno d’oggi può sembrare strano che un matematico si occupi di filosofia o che un filosofo si occupi di matematica. Tuttavia, fino a non molto tempo fa, la matematica e la filosofia camminavano mano nella mano, molto ma molto più che adesso, e specialmente la geometria. Basti pensare che sull'ingresso dell’accademia di Platone si narra che ci fosse scritto Vietato entrare a chi è ignorante di Geometria, per capire quanto queste discipline fossero legate tra di loro. L’idea che il mondo sia ordinato da concetti di tipo geometrico-matematico arriva attraverso i dialoghi di Platone e la cosmologia aristotelica sino a Cartesio e Spinoza. Da questo punto di vista lo stesso Einstein trova nella geometria Riemanniana (una geometria che va oltre quelle non-euclidee) lo strumento per descrivere l’universo, caso forse più celebre in cui la costruzione matematica precede la sua applicazione fisica.

Una profonda discussione della natura e della dimensione del problema che l’esistenza delle geometrie non-euclidee pone al modello che Kant elabora della conoscenza umana è qualcosa che va oltre lo scopo di questo articolo e decisamente oltre le mie conoscenze, anche se ho aiuto in famiglia [1 ] Vincenzo Tinaglia, mio fratello, laureato in storia e filosofia all’università di Bologna.. Dopo che il concetto di spazio euclideo e quindi newtoniano viene ridimensionato dai matematici, con l’arrivo di Einstein, è proprio il concetto di spazio a diventare obsoleto. Bisogna parlare di spazio-tempo! Ciao ciao spazio! Se quindi uno è disposto a concedere che Kant volesse dire che la nostra intuizione geometrica (la geometria nella nostra testa) è e sarà sempre euclidea, si apre comunque un conflitto tra la nostra intuizione e la realtà, che Kant non aveva previsto. D’altronde lo sforzo di Kant era dare un fondamento certo alla geometria euclidea così come alla fisica. Ci provò con una brillante intuizione: collocare questi concetti all’interno dei nostri meccanismi della conoscenza, universali e quindi uguali per tutti. Non poteva sapere che, di lì a poco, gli avrebbero detto che spazio e tempo erano diversi da quanto egli aveva creduto. Fine della parentesi filosofica.

Per avere un assaggio di come possano apparire le geometrie non-euclidee, guardiamo a quello che succede sulla superficie di una sfera. Se decidiamo di chiamare “rette” i cerchi massimi, allora, in questa geometria, due “rette” si intersecano sempre in due punti e il quinto assioma non solo non è evidente, ma è evidente che non è (avete visto cosa sono riuscito a fare con la lingua italiana?). In questa geometria non ci sono rette parallele ma vale l'affermazione del Modo  A di cui sopra. È un po’ più difficile, ma non troppo difficile, dare un’idea di come possa essere una geometria non-euclidea, dove il quinto assioma venga falsificato nella direzione diversa, ovvero nel Modo B. Le geometrie non-euclidee date dal Modo B vengono chiamate iperboliche e, tra le altre cose, hanno influenzato enormemente tanti dipinti di Escher.

 

 

Ma torniamo alla sfera. Magari non volete chiamare retta un cerchio massimo, proprio vi disgusta. Perché dovreste farlo? La vostra intuizione vi dice che è sbagliato… Forse  la vostra intuizione è sbagliata? (Mi senti Kant?) O meglio, forse la vostra intuizione deve essere ricalibrata.

Ho già fatto una simile discussione in un mio articolo precedente ma, come si dice, repetita iuvant. Quindi, prendiamo un foglio di carta e tracciamoci sopra una linea retta. Se pieghiamo il foglio di carta e lo trasformiamo, per esempio, in un cilindro, la retta non è più retta. Tuttavia, è sempre lo stesso oggetto che abbiamo disegnato. Sarebbe poi così sbagliato continuare a chiamarlo retta? Forse che l’essenza di retta non sta nell’essere dritti? Infatti, un modo equivalente per descrivere un segmento è come il cammino più corto per collegare due punti. Questa proprietà che caratterizza un segmento di linea retta ha il vantaggio che si esporta facilmente ad altri mondi geometrici. Un segmento di linea retta tracciata sul foglio continua ad avere questa proprietà anche quando il foglio viene deformato. Ad esempio, si può dimostrare che sulla sfera, il cammino più corto che collega due punti è un arco di cerchio massimo. Insomma, dopo avere ricalibrato la nostra intuizione e capito l’essenza di essere retta, allora l’esistenza delle geometrie non-euclidee non appare più così fantasiosa, giusto?

Giuseppe Tinaglia, King’s College London. Sito.

 

 

Bibliografia   [ + ]

1. Vincenzo Tinaglia, mio fratello, laureato in storia e filosofia all’università di Bologna.

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