S come Simmetria

On January 8, 2013

Cos'è la Simmetria? Beh, diciamo che questa frase potrebbe essere quasi simmetrica se es acirtemmis isauq eresse ebbertop esarf atseuq ehc omaicid, heB. Buona lettura!

Le forme che ci circondano (e la forma che abbiamo) possiedono, in un qualche senso, molte ripetizioni: due orecchie, due occhi, due gambe e ciascuna coppia divisa equamente tra il lato destro ed il lato sinistro. Analogo il tronco di un albero, che non cambia poi di molto quando lo si guardi girandogli intorno. Quando un oggetto non cambia di aspetto cambiando posizione di osservazione si dice che è simmetrico. Formulata in questa maniera, la frase risulta incompleta: la simmetria è una proprietà di un oggetto in relazione ad un cambiamento di punto di vista, che deve essere specificato in maniera precisa.

Esempio: se ci mostrano una fotografia di un uomo non è facile distinguere se si tratti di un primo piano preso in maniera diretta o attraverso uno specchio, semplicemente perché l'occhio destro e l'occhio sinistro (così come le orecchie, le gambe, le braccia...) non sono facilmente distinguibili e, per lo meno a prima vista, sono uguali, eccezion fatta per la loro collocazione rispetto al naso. Grosso modo, siamo simmetrici e simmetrici rispetto alle riflessioni. Quali riflessioni, quelle allo specchio? Non esattamente, perché di fronte allo specchio ci si può collocare in tante maniere. Simmetrici rispetto al piano (ideale, per carità) che taglia esattamente in due il nostro naso, lasciando una narice a destra ed una a sinistra.

Il tronco di molti alberi (un baobab, ad esempio) possiede tante simmetrie: si può girare attorno ad esso di poco o di molto e la forma che si vedrà è sempre sostanzialmente la stessa, tanto che, in assenza di altri punti di riferimento, si rischia di perdere l'orientamento. Senza particolari sorprese, in questo caso, si parla di simmetria cilindrica (o assiale) nel senso che la figura non cambia quando la si ruota attorno ad un asse opportuno, esattamente come avviene quando si fabbrica un vaso con il tornio, il quale, facendo ruotare attorno ad un asse il piatto su cui poggia l'argilla, permette di generare una simmetria cilindrica pressoché perfetta.

Capito il concetto, il campionario degli oggetti geometrici che possiedono simmetrie è vastissimo. Basta pensare a un triangolo (equilatero o isoscele), un quadrato, un rettangolo, una sfera o un pallone di rugby. Ma, come sempre, in matematica si cerca di estendere, allargare, tirare le idee in tutte le direzioni possibili e immaginabili, per gusto o per utilità, a seconda dei casi. Così, la simmetria si estende anche alle formule e alle equazioni.

Consideriamo due numeri che, seguendo un canone consolidato, indichiamo con le lettere x ed y. La somma x+y e il prodotto xy sono simmetrici. Rispetto a cosa? Simmetrici rispetto allo scambio di posizione di x e y. Si tratta di una conseguenza (o riformulazione) della proprietà commutativa. Per fornire una interpretazione geometrica di questa simmetria, possiamo seguire Cartesio ed immaginare che la coppia (x,y) individui un punto nel piano. In questo modo, somma e prodotto sono simmetriche rispetto alla retta dei punti che hanno le due coordinate coincidenti.

Di più. Numerosi modelli basati sulle equazioni differenziali godono di proprietà di simmetria che, in ultima analisi, discendono dalle miriadi di simmetrie presenti nelle regole della Natura. Fidiamoci di Newton e accettiamo che lo spostamento di una particella, di massa m, sia descritto dalla relazione ma=F, cioè la sua accelerazione sia proporzionale alla forza che agisce su di esso.

Osserviamo cadere una mela da un albero e aspettiamo che piombi sulla testa del malcapitato di turno. Tutto è determinato dalla forza di gravità, la quale è direzionata verso il suolo, cioè in linea con il tronco dell'albero, a patto che questo sia ben dritto. Quindi, come quest'ultimo, anche la forza è simmetrica rispetto all'asse verticale.

Con questo ingrediente alla mano e qualche nozione aggiuntiva sulla definizione di derivata, si riconosce che l'equazione ma=F, nel caso della mela in caduta libera, è simmetrica rispetto alla verticale. Come conseguenza, partendo da una situazione iniziale che non distingue una direzione da un'altra (subito prima di cadere la mela si trovava ferma e tranquilla sul suo ramo), anche la soluzione dell'equazione, che descrive il moto del frutto, è simmetrica rispetto allo stesso asse. Dritta in testa alla vittima.

 

Corrado Mascia

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