R come Regolare

On February 4, 2014

Non è certo colpa loro se le funzioni, seguendo la loro logica si ribellano e, a volte, commettono qualche irregolarità. Il rispetto resta, ma loro - le funzioni - non sempre possono sottostare alle nostre richieste.

Il termine "regolare'' è generico; qui, la questione si riferisce alle equazioni differenziali e alle loro soluzioni. Le funzioni sono rappresentanti matematici di quantità reali quali la velocità, la temperatura, la densità o altro, a seconda del gusto e della necessità. La loro natura discende dalla visione prescelta dal modello considerato. La versione continua presuppone che il mezzo fisico in osservazione occupi lo spazio senza interruzioni, buchi o salti. Tutto l'oceano è una distesa d'acqua, ed un bicchiere di questo è ancora un continuo di acqua, così come un cucchiaino ed ogni sua più piccola parte sempre acqua resta. Osserverà qualcuno che questo processo di regressione all'infinito non funziona, perché la struttura atomica della materia è caratterizzata da lande sterminate di vuoto, piuttosto che dal pieno di materia di cui sto dicendo. Ma alla nostra scala, la maggior parte dei fenomeni che vediamo e tocchiamo si comporta come se effettivamente a livello microscopico tutto fosse sempre e comunque pieno e continuo. E' una sorta di horror vacui che fornisce una piattaforma di lavoro efficiente per descrivere il mondo che ci circonda con gran precisione.

A questo punto di vista, le funzioni si accordano con piacere. Anzi, senza di questo, la loro stessa natura sarebbe ben diversa. Il problema nasce dal fatto che, in aggiunta all'ipotesi del continuo, auspichiamo anche che le funzioni, quando cambiano valore da punto a punto, lo facciano con gradualità. Se la temperatura dell'Atlantico è di 25 gradi in prossimità dei Caraibi e di 18 gradi alle Canarie, ci aspettiamo che ci siamo punti dell'Oceano dove la temperatura è di 20 gradi. E lo stesso per qualsiasi altro valore compreso tra 25 e 18. Non si passa da un valore ad un altro se non per tutti i valori intermedi. Alla stessa maniera, un vaso caduto dal terzo piano deve essere passato di fronte al secondo e di fronte al primo. La smaterializzazione in un luogo e ricomposizione istantanea in un altro, non è gradita. Più precisamente: è fuori dalle regole.

L'esigenza umana non si ferma. Sempre per quel che riguarda il vaso in caduta, assumendo che sia partito da fermo e giunto a terra con una velocità di 15 metri al secondo, avrà avuto ad un dato momento la velocità di 5 m/s e ad un altro quella di 12.5 m/s. E così via dicendo per gli altri numeri tra 0 e 15. Non è quindi solo la posizione che varia senza vuoti intermedi, ma anche la variazione di posizione (descritta dalla velocità, per l'appunto). Funzioni che rispettano questo tipo di richieste sono dette essere regolari.

Ed è proprio qui il punto: talvolta, le soluzioni di equazioni differenziali non hanno voglia di essere regolari. Variare passando per una sequenza continua di stati intermedi non sempre è possibile quando si è vincolati a seguire le leggi imposte dalle equazioni stabilite. Le funzioni si ribellano a questa costrizione e decidono di avere variazioni che cambiano repentinamente formando, come si dice in gergo, delle singolarità. E' il caso dell'equazione di Burgers che crea discontinuità a partire da configurazioni continue. Controparti reali di situazioni di questo genere sono gli tsunami o i cosiddetti colpi d'ariete. Fenomeni in cui la transizione è talmente localizzata da essere percepita come un'istantaneo cambiamento di configurazione, senza alcun attraversamento di stadi intermedi.

Questa ribellione mette in difficoltà perché tutta una lunga schiera di strumenti matematici, creati su misura per funzioni regolari, perdono di efficacia in presenza di singolarità.  Le equazioni stesse devono essere riformulate in una maniera diversa, più debole, basata su un concetto di bilancio integrale (cioè relativo a regioni) piuttosto che differenziale (cioè relativo a punti). Si tratta di una questione fondamentale, perché riguarda la comprensione stessa di cosa si intenda per soluzione e di quale sia il limite di validità di una equazione.

Non a caso uno dei famigerati sette Problemi del Millennio riguarda la questione della regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier--Stokes, caposaldo della matematica dei fluidi. Come è regolare, chi dovesse risolvere la questione, stabilendo se ci siano singolarità oppure no, riceverà la gratitudine di tutta la comunità scientifica (oltre che il cospicuo premio in denaro previsto dal Clay Mathematics Institute).

Corrado Mascia

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