P come Puntualità

On November 30, 2014

Non se ne abbia a male Andrea se sono sempre in ritardo ai nostri incontri di lavoro. Ho una certa difficoltà con la puntualità dell'orologiaio svizzero. In compenso, so bene cosa vuol dire essere puntuale nel senso dei matematici, cosa che dipende dal vizio di lavorare con funzioni. Cioè con oggetti che hanno valori diversi a seconda di dove li si guardi. La temperatura  alta in prossimità di un radiatore, scende vicino alla finestra (aperta), tracolla all'interno del congelatore. Il saldo che ho sul conto corrente oggi non è lo stesso dello scorso anno, per via di una serie di manovre finanziarie più o meno raffinate che sono intercorse nel frattempo. E compagnia bella. A ciascun punto (variabile indipendente) il suo valore (variabile dipendente).

Un'operazione compiuta su una funzione è puntuale se è effettuata punto per punto, cioè fissando il valore di partenza della variabile indipendente come se gli altri valori non ci fossero. Un esempio: in famiglia abbiamo due conti correnti diversi. A ogni istante, ognuno ha il suo saldo. Se vogliamo valutare quanto denaro abbiamo tutti insieme, basta sommare i valori dei due saldi istante per istante. Non ha senso, ovviamente, sommare il saldo di dicembre 2013 del conto di mia moglie con quello di marzo 2012 del mio. Si fissa un istante x (dicembre 2014, tanto per dire) e si sommano i due saldi, in modo da ottenere la situazione totale all'istante x. Cosa ne sia stato in precedenza e cosa ne sarà in futuro non è significativo per sapere quel che succede all'istante considerato.

Lo stesso metodo si estende ad altre operazioni più complicate del sommare. Si possono sottrarre, moltiplicare, dividere puntualmente funzioni definite nello stesso insieme tutte le volte in cui l'operazione abbia senso punto per punto. Se qualcuno è interessato all'evoluzione della percentuale di stranieri in Italia nel corso degli anni potrà, anno per anno, dividere il numero di stranieri per il numero di italiani. L'andamento globale sarà ottenuto incollando queste divisioni effettuate istante per istante.

Volendo si può anche passare al limite in maniera puntuale, cioè considerando fissato il valore della variabile indipendente e riducendosi in questa maniera ad un limite più familiare. Non sempre, però, questa visione puntuale è la migliore possibile. Perché spesso le funzioni prevedono una certa forma di dialogo tra le diverse parti. Il valore in un punto non sempre è del tutto svincolato da quello in un punto vicino. Anzi. Immagino che tra il freddo polare del congelatore e il caldo tropicale del radiatore, con un'analisi sufficientemente accurata, si possano individuare punti di casa con tutti i valore di temperatura intermedi possibili. E se, in una qualche forma di operazione, si dimentica la relazione tra le parti, il rischio di smarrire proprietà significative del fenomeno in osservazione può essere alto.

Per questo, fermo restando l'interesse della puntualità, si sviluppano operazioni e procedure di natura diversa. Invece di un semplice prodotto puntuale di funzioni se ne può considerare la "convoluzione'', operazione che permette di realizzare un media locale dei valori di una dei due fattori secondo quanto descritto dall'altro fattore. Invece della convergenza puntuale, si può decidere di lanciarsi in una convergenza di tipo integrale, in cui i valori che si osservano sono i valori medi, piuttosto che quelli puntuali (con l'usuale rischio di rimanere a stomaco vuoto per via della storia dei polli di Trilussa).

Non si tratta di trovate esotiche utili solo a darsi un tono e a vestire i panni di "quello dell'altra barzelletta'', ma di procedure indispensabili ad affrontare e risolvere problemi specifici matematici e non. Tutto questo per suggerire di essere indulgenti, qualora vi capitasse di aspettare un vostro amico (matematico) ritardatario: è probabile che abbia avuto un contrattempo non-locale.

Corrado Mascia

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