L come LINEARIZZAZIONE

On June 17, 2010

Linearizzazione: Una parola che pare uno scioglilingua, ma che piace molto a matematici ed ingegneri, forse perché riguarda di un punto di vista ristretto da un certo senso ed estremamente ricco da un altro...


Per molto tempo si è pensato che la Terra fosse piatta e questa idea, a differenza di quel che può sembrare, non è poi così ingenua. Al giorno d'oggi, chiunque paragonerebbe il nostro pianeta ad una palla da tennis o ad una arancia, piuttosto che ad una tavola da gioco degli scacchi, semplicemente perché libri ed internet traboccano di fotografie, prese

dallo spazio, del pianeta Terra. Un vantaggio non da poco: si procede per CapeCanaveral e si prende il primo Shuttle in partenza per lo spazio e da lì... click!... una bella foto. Ma cosa avremmoconcluso, se avessimo avuto a disposizione solo la nostra esperienza concreta (pensate ad esempio ad una lunga corsa su un campo di atletica)? Senza dubbio avremmo concluso che la Terra è piatta. E tutto questo semplicemente perché noisiamo

“piccoli” rispetto alla dimensione del pianeta: 2 metri di altezza (nel migliore dei casi...) contro più di 6.000 km di raggio.Linearizzare consiste in un procedimento di questo genere: scambiare un oggetto curvo con un altro piatto, semplicemente perché le dimensioni in considerazione sono piccole rispetto alle grandezze dell'oggetto nella sua interezza.

Facciamo una fotografia ad un'arancia: prima intera, e poi, utilizzando uno zoom, concentriamoci su una sua parte e poi su una parte della parte e così via... Aumentando l'ingrandimento, sembrerà piatta e sempre più piatta fino a diventare tale e quale ad una tavola (trascurando le asperità della scorza...). L'elemento base della linearizzazione è proprio questo: le strutture curve possono assomigliare, vicino a un loro punto, a strutture piane. “Linearizzare” significa, quindi, sostituire a un oggetto curvo una sua approssimazione piatta.

Nella sostituzione, si paga evidentemente un prezzo: l'errore dell'approssimazione. Poco grave se l'errore è piccolo rispetto alle quantità considerate: approssimare un campo di calcio sulla Terra (e quindi curvo) con uno piatto si traduce in un errore minore di un millimetro.

Poco grave anche quando si hanno le capacità balistiche di Maradona... E cosa si guadagna? Il fatto che la struttura del problema è più semplice, perché le strutture “piatte”, o, come si dice in matematica, “lineari” hanno molte proprietà che le rendono più gestibili di quelle che non lo sono. Ad esempio, in una retta, non esiste piccolo o grande:

un piccolo pezzo di retta è indistinguibile da uno grande. Non ci sono punti di riferimento e si perde, proprio come in grotta, il senso della dimensione. Un tipico approccio dei matematici (ma non solo) consiste nel prendere un problemanonlineare (cioè “curvo”) e approssimarlo con un problema lineare (cioè “piatto”). Il punto di vista che si acquisisce in questo modo è estremamente potente perché il concetto di lineare è generalizzabile a tante situazioni diverse che vanno ben oltre l'intuizione geometrica. Ad esempio, l'amplificatore dello stereo, se usato in maniera moderata, può essere considerato come un oggetto lineare: girando la manopola del volume non si fa altro che amplificare il segnale che però resta sostanzialmente sempre lo stesso. Se si esagera in decibel, c'_e il rischio che subentrino effettinonlineari e che la musica che si ascolta non sia esattamente la stessa ideata dal compositore.

Quando funziona meglio l'approssimazione lineare? Grosso modo se il fenomeno in osservazione resta localizzato vicino al punto dell'approssimazione. Se si comincia ad andare lontano, ci si rende conto della differenza, e l'errore diapprossimazione pu_o farsi sempre più evidente, fino a diventare sempre più significativo e costringere ad una

rappresentazione delle cose di tipo diverso. Come ci si è resi conto che la Terra non _e piatta? Proprio perché alcune persone, come Cristoforo Colombo, hanno cominciato a guardare lontano...

 

di Corrado Mascia

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