G come Gaussiana

On April 22, 2012

Un argomento matematico molto noto, e ricorrente in dotte conversazioni, è la "campana gaussiana": si tratta di una curva che spesso viene utilizzata per indicare una sorta di 'prevedibilità' di un fenomeno che, appunto, è più o meno "normale" se il suo verificarsi rientra nella parte centrale di una "gaussiana" di probabilità...

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Alcuni tipi di linee, come rette e circonferenze, ci sono noti fin dalle elementari. Le incontriamo per la loro abilità di coniugare una struttura relativamente semplice con una eccellente capacità di rappresentazione qualitativa degli oggetti che ci circondano. Pensate alla usuale rappresentazione di mamma e papà fatta da un bimbo alle prese con i primi rudimenti dell'arte grafica: una sequenza schematica e coerente di segmenti, cerchi ed archi di cerchio. Poi si cresce, si evolve, e, man mano, si presentano linee diverse, apparentemente più complesse ed esotiche, ma che, con l'uso e l'abitudine, diventano familiari e che, pure loro, sono in grado di descrivere uno o più aspetti della realtà (come insegna l'arte astratta, questa rappresentazione non sempre va pensata in termini figurativi, perché si può dire molto attraverso un linguaggio che non necessariamente sia copia del mondo).
Una curva intramontabile è la gaussiana, chiamata in questo modo in onore di uno dei più grandi matematici di sempre: Carl  Friedrich Gauss. Ha la forma di un profilo montagnoso, con una singola cima centrata nel mezzo e un salire prima eduno scendere poi estremamente regolari. Come per rette e circonferenze, di gaussiana non ce ne è una sola, ma tante che differiscono per la collocazione e per l'altezza del picco centrale e per la ripidità di salita e discesa. Tre parametri liberi di essere scelti come si vuole, proprio come nel caso del cerchio (posizione del centro e lunghezza del raggio). La sua formula si può scrivere senza grande fatica, con la sola avvertenza che essa coinvolge in maniera basilare il fantomatico numero di Nepero e, una delle principali manie numeriche dei matematici.
La gaussiana, con questa sua forma a campana (motivo per cui è anche nota come campana di Gauss), nasce in maniera sorprendente come formula esatta per la descrizione di fenomeni che di esatto hanno ben poco: i lanci di monete ed i tiri del dado. Immaginate un individuo che sia in grado di andare solo a destra o a sinistra e che scelga la direzione effettuando ogni volta un lancio di moneta: testa, un passo a destra, e croce, un passo a sinistra. Il risultato sarà uno zig-zag imperscrutabile a chiunque, persino allo stesso individuo. Nessuno è in grado di sapere dove si troverà dopo cento o mille lanci, nemmeno lui stesso, guidato dall'imprevedibilità di una moneta rotante. Ma se gli individui e i lanci sono tanti: uno, mille, diecimila, centomila, di più... e invece di seguire il moto del singolo ci si mette a guardare il moto di una massa di persone zig-zaganti secondo lo stesso criterio, si vedrà emergere, da un meccanismo del tutto aleatorio, uno schema ricorrente ben preciso, perfettamente prevedibile e quantificabile, descritto in dettaglio da una curva gaussiana. Chi ci lavora, alla fine tende a farci l'abitudine e non badarci più di tanto, come se fosse normale, ma è un vero miracolo constatare che partendo da fenomeni che nulla hanno, apparentemente, di prevedibile, è possibile determinare regole e ricorrenze dettate da formule precise. E il tutto è talmente quantificabile e dimostrabile che si associa, rimasticato e rielaborato in una forma opportuna, al nome di Teorema del limite centrale.
Come conseguenza di questo fenomeno, le gaussiane emergono in altri ambiti, apparentemente diversi da quello appena descritto, ma in realtà profondamente connessi ad esso. Il fenomeno della diffusione, che traduce la redistribuzione di quantità come il calore, o coma la densità di una specie (chimica, cellulare, animale...), si descrive con funzioni gaussiane che variano al variare del tempo. Una popolazione inizialmente molto concentrata  in una zona (il picco centrale della gaussiana) tende  ad espandersi invadendo tutta la regione circostante, sempre mantenendo il profilo a campana, risultato di un meccanismo di spostamento a zig-zag come quello descritto dal lancio di moneta. Nella meccanica quantistica, teoria che si premura di descrivere il funzionamento della materia su scale atomiche, di nuovo, appaiono le gaussiane, con la loro abilità di descrivere gli stati più semplici della materia, su cui si innestano innumerevoli complicazioni ulteriori. Persino molti fenomeni in cui sono presenti rumori di fondo di diverso genere, la descrizione gaussiana permette una descrizione quantitativa del disturbo, assolutamente sorprendente, se si riflette sulla natura assolutamente casuale di quel che si sta descrivendo.
Le potenzialità di questa innocua curva sono ben lungi dall'essere state esaurite. Emergeranno numerosi altri problemi in cui lo scienziato di turno sarà in grado di riconoscere l'inconfondibile suono della gaussiana. Resta quindi solo la curiosità di sapere... per chi suona la campana?

 

Corrado Mascia

 

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