F come Frontiera libera

On April 22, 2012

Sono il solito distratto ed urto accidentalmente un bicchiere di vino sulla tovaglia: fin dove si espanderà la macchia? Il suo bordo (la sua 'frontiera') è ben libero di muoversi...


Chiariamo subito: non si tratta di uno slogan a favore degli accordi di Schengen o di altri trattati relativi alla circolazione tra Stati. Anche se, in effetti, la parola ``frontiera'' in matematica ha esattamente il significato usuale: la regione di separazione tra domini diversi. Ad essere precisi, secondo l'usuale vizio dei professionisti dei numeri, la ``frontieradi un insieme'' e' la collezione di quei punti che possiedono, a distanza ravvicinata, sia punti che appartengono all'insieme stesso che punti che non vi appartengono. Si tratta quindi di una linea, o superficie, o, più in generale, che demarca tra il dentro ed il fuori, come può esserlo la linea terminale di un ghiacciaio che distingue la zona gelata dal resto.

In che senso una frontiera può essere libera? In molti problemi, le zone di confine sono fissate una volta per tutte, stabilite da condizioni esterne, immutabili nel tempo, per lo meno nel periodo di osservazione del fenomeno. Un esperimento di laboratorio relativo, ad esempio, su una popolazione di batteri viene spesso condotto all'interno di una capsula di Petri. Tutta la dinamica si svolge all'interno di questa specie di gabbia cilindrica e trasparente che determina, una volta per tutte, il terreno di gioco. Il numero di batteri, i loro spostamenti, i loro tassi di natalità e mortalità possono cambiare al variare delle condizioni e quindi al variare del tempo, ma la regione di vita è sempre la stessa: un cerchio di diametro di una decina scarsa di centimetri.

In altri casi, invece, le regioni di osservazione variano nel tempo. Sono il solito distratto ed urto accidentalmente un bicchiere di vino sulla tovaglia: fin dove si espanderà la macchia? All'inizio il liquido era localizzato in una zona di diametro di tre/quattro centimetri e ora si è già allargata di due o addirittura tre volte. Quanto tempo ho per cercare di limitare i danni ed intervenire prima che arrivi sul bordo della tavola e cominci a rovinare, irreversibilmente!, il preziosissimo tappetoorientale dei miei ospiti?

Una scossa di terremoto sottomarina ha generato uno tsunami di dimensioni ciclopiche. Il livello dell'acqua si è alzato di cinque metri e comincia a viaggiare a grande velocità verso la terraferma. Quanto tempo impiegherà ad arrivare sulla costa? E, una volta arrivato, quale distanza sarà in grado di percorrere?

In entrambi i casi, la zona riempita dal liquido (il vino sulla tovaglia, il livello dello tsunami) non è stabilita a priori, ma varia nel tempo e, quando si vuole costruire un modello matematico capace di prevederne l'evoluzione, essa deve essere considerata come una incognita aggiuntiva.

La frontiera c'è, ed è libera di muoversi. Ed allora viene chiamata ``frontiera libera''.

Il problema prototipo che rientra in questa categoria è detto ``problema di Stefan'' e consiste nella descrizione dell'evoluzione della temperatura in un mezzo omogeneo che sta subendo una transizione di fase come, ad esempio, il passaggio da acqua a ghiaccio. I due stati sono ben diversi tra loro: per far capire, la capacità di diffusione del calore dell'acqua è sensibilmente più piccola di quella del ghiaccio e, per una buona descrizione, occorre usare parametri diversi e, talvolta, leggi diverse.

Occorre quindi una descrizione per il ghiaccio e una per l'acqua.

Ma occorre anche una descrizione aggiuntiva che riguarda la transizione ghiaccio/acqua e che determina in che maniera si sposta la frontiera di separazione. Tutto è interconnesso: l'evoluzione della distribuzione di temperatura nella parte ghiacciata dipende dalla forma del dominio e dalla sua evoluzione, che è condizionata, a sua volta, dalla dinamica della parte ghiacciata.

Non si può risolvere una senza tenere conto dell'altra.
Si tratta di una sorta di corto-circuito da cui l'esperto matematico è in grado di divincolarsi utilizzando tecniche talvolta raffinate accompagnate ad una buona dose di esperienza. Aver risolto un problema di frontiera libera in un determinato contesto, permette di individuare la strada per risolverne un altro, magari proveniente da un contesto completamente diverso.

E' qui che gioca, ancora una volta, una delle doti principali della matematica: l'universalità.

I problemi di frontiera libera, ad esempio, emergono in tanti altri modelli matematici. Nell'evoluzione dei tumori, le regioni necrotiche e non necrotiche di un tessuto hanno proprietà ben diverse e prevedere l'evoluzione dell'una rispetto all'altra è indispensabile per determinare strategie ottimali di cura o, per lo meno, di limitazione dei danni della malattia. Frontiere libere emergono anche in matematica finanziaria quando, ad esempio, si vogliano usare le famigerate equazioni di Black-Scholes per determinare il prezzo delle opzioni americane. Queste si differenziano dalle opzioni europee, che hanno una data di scadenza fissata, per il fatto di poter essere esercitate in un qualsiasi momento precedente alla scadenza. Ne emergono due regimi: uno relativo al caso in cui conviene esercitare l'opzione ed uno in cui è conveniente restarne in possesso, la cui regione di separazione corrisponde alla scelta ottimale e risulta essere proprio una frontiera libera per il problema.

Chi può dirlo? Forse l'aver versato accidentalmente quel bicchiere di vino a casa dei miei amici, mi aiuterà a scegliere un investimento migliore per i miei risparmi. Non tutto il male viene per nuocere...

Corrado Mascia

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