Un'applicazione delle equazioni differenziali alla fisica: la caduta libera in un mezzo resistente

On January 26, 2014

di Erasmo Modica

Viene di seguito proposto un problema di applicazione delle equazioni differenziali alla fisica, in cui l’obiettivo è la determinazione del modello che fornisce la velocità di caduta di un corpo in un mezzo resistente in funzione del tempo.

Unità di apprendimento in cui inserire l’attività: equazioni differenziali

Contesto: 5° anno del Liceo Scientifico

Collegamenti interdisciplinari: fisica

Concetti-chiave in lingua inglese: differential equations, force, friction

Competenza: Avere padronanza degli strumenti matematici per la costruzione di modelli

Conoscenze:

  • Concetto di equazioni differenziale
  • Immagini
  • Logaritmi e loro proprietà
  • Accelerazione come derivata della velocità
  • Proprietà degli integrali
  • Secondo principio della dinamica

Abilità:

  • Risolvere equazioni logaritmiche
  • Integrazione immediata
  • Risolvere equazioni differenziali
  • Applicare il secondo principio della dinamica per determinare l’accelerazione di un corpo

Problema. Un corpo sferico di massa 200 g cade in un mezzo viscoso. Sapendo che quest’ultimo si manifesta mediante una forza frenante direttamente proporzionale alla velocità del corpo in caduta, secondo un coefficiente λ=0,2 N·s/m, determinare:

a)    l’espressione della velocità in funzione del tempo;

b)    la velocità del corpo dopo 4 s;

c)     la velocità limite.

Risoluzione

Immaginiamo che il corpo sferico cada nel messo viscoso e indichiamo con l’espressione:

 \vec F_R= - \lambda \vec v

la forza frenante che agisce su di esso, il cui modulo è direttamente proporzionale a quello della velocità di caduta e in cui λ>0  è una costante che dipende dal mezzo viscoso. Il segno meno che compare nella relazione, indica che tale forza frenante si oppone al verso della velocità.

Il corpo è quindi sottoposto a questa forza e alla forza peso \vec P=m \vec g rivolta verso il centro della Terra.

Applicando la seconda legge di Newton si ottiene:

P-F_R=ma

Sostituendo le espressioni delle due forze a primo membro, otteniamo:

mg-\lambda v=ma

Ricordando che l’accelerazione è la rapidità di variazione della velocità nel tempo, cioè che:

a=\frac{dv}{dt}

dalla precedente relazione si ottiene la seguente equazione differenziale:

m \frac{dv}{dt}=mg - \lambda v

ossia:

\frac{m}{\lambda} \cdot \frac{dv}{dt}=\frac{mg}{\lambda}-v

 e quindi:

\frac{dv}{\frac{mg}{\lambda}-v}=\frac{\lambda}{m}dt

 Integrando ambo i membri si ottiene:

-\ln \left(\frac{mg}{\lambda}-v \right)=\frac{\lambda}{m} \cdot t+c

da cui:

\frac{mg}{\lambda}-v=e^{-\frac{\lambda}{m}t+c}

Ponendo e^c=k, possiamo determinare la velocità dalla precedente relazione:

v(t)=\frac{mg}{\lambda}-ke^{-\frac{\lambda}{m}t}

Supponendo che all’istante iniziale il corpo sferico sia fermo, cioè che v(0)=0, dalla relazione precedente possiamo determinare il valore della costante  come segue:

\frac{mg}{\lambda}-k=0

cioè:

k=\frac{mg}{\lambda}

In definitiva, l’espressione della velocità di caduta in funzione del tempo sarà la seguente:

v(t)=\frac{mg}{\lambda}\cdot \left(1- e^{-\frac{\lambda}{m}t}\right)

Inserendo i valori dati nel problema otteniamo la funzione:

v(t)=9,81 \cdot (1-e^{-t})

Per determinare la velocità del corpo dopo 2 s, è sufficiente determinare l’immagine di 2 tramite la funzione precedente, ossia:

v(2s)=9,81 \cdot (1-e^{-2})=6,2 m/s

La rappresentazione grafica della funzione è la seguente:

grafico_attrito

Dal grafico notiamo che la velocità ha un asintoto orizzontale che si può determinare mediante il seguente limite:

\lim_{t \to \infty} \left[ \frac{mg}{\lambda} \cdot \left( 1-e^{-\frac{\lambda}{m}t} \right) \right]=\left(\frac{mg}{\lambda} \right)^{-}

 Nel nostro caso, questi limite ci permette di determinare l’asintoto di equazione:

y=9,81

Quindi il valore v=9,81 m/s rappresenta la velocità limite.

Erasmo Modica

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