C come Controllo ottimo

On April 17, 2013

Il viaggio deterministico raccontato dalle equazioni differenziali può essere svincolato dal fatale peso delle condizioni iniziali introducendo una variabile di "controllo". In questo modo, l'uomo può perfino andare sulla Luna...

 

Se c'è una cosa che infastidisce quando si lavora con modelli differenziali è questa loro ostinazione a essere, a modo loro, pre-destinati.

Mi spiego.

Quando si usano equazioni differenziali per prevedere a partire dai dati di oggi quello che succederà domani, ci si trova a dover ammettere che lo stato attuale di un sistema ne determina in maniera univoca il suo futuro. Da qui fino al giorno del Giudizio (quando, presumibilmente, le equazioni verranno modificate profondamente). Si può salire altre mille volte sulla Torre di Pisa e lasciar cadere altrettante volte un paio di masse pesanti uguali a quelle prescelte da Galileo e, invariabilmente, il tempo di caduta sarà sempre lo stesso, in quanto determinato, senza possibilità di variazione, da posizione e velocità iniziale. A parità di condizioni di partenza, l'evoluzione resta, immutabilmente, la stessa.

Ma a noi umani, da sempre, piace giocare con la materia, plasmarla, trasformarla a nostro piacimento e un meccanismo così poco interattivo come il determinismo newtoniano delle equazioni differenziali piace solo fino ad un certo punto.

Se gli americani avessero cercato di atterrare sulla Luna semplicemente lasciando cadere da un'altezza opportuna il modulo di atterraggio sarebbe stato un disastro. Il tempo di caduta si sarebbe potuto calcolare in anticipo con precisione chirurgica, così come l'inutile fine dei malcapitati astronauti sacrificali.

La soluzione al problema è semplice: opporsi, in qualche maniera, a questo scorrere autonomo delle cose e cominciare a plasmarne l'evoluzione, cioè le corrispondenti equazioni differenziali. Nel caso dell'atteraggio sulla Luna, la strategia, in linea di principio, è semplice: la presenza di un piccolo motore, controllato dal guidatore, può cambiare il destino delle cose. La crescita lineare della velocità di caduta può essere controbilanciata e si può riuscire ad allunare con la stessa delicatezza con cui una foglia si deposita al suolo.

Nei modelli differenziali, la presenza di uno strumento che modifichi l'evoluzione del fenomeno e che possa essere gestito al fine di raggiungere uno scopo preciso si traduce nella presenza di una variabile aggiuntiva detta “controllo”. La presenza di un controllo ripristina un margine di libero arbitrio a cui è difficile rinunciare.  L'evoluzione di un'equazione con un termine di controllo non è più definita in maniera univoca dalle condizioni iniziali, ma dipende dalla maniera di gestire la variabile aggiuntiva a disposizione dell'utente.

Qui riemerge l'annoso problema del genere umano: cosa fare di tutta questa libertà che ci è concessa?

Ovvero, con che criterio gestire questo “controllo”?

Compare, a questo livello, la necessità di stabilire un funzionale, detto in gergo “funzionale di costo”, che determina il criterio di utilizzo del controllo, in quanto la scelta di gestione di questo parametro aggiuntivo viene effettuata in maniera da rendere minimo il “costo” dell'evoluzione corrispondente. Il controllo che rende minimo il costo, senza sorpresa semantica, si chiama “controllo ottimo”. Dietro la parola “costo” si possono nascondere oggetti ben diversi tra loro che dipendono da problema a problema. Si può voler minimizzare il carburante consumato per compiere un certo tragitto o il suo tempo di percorrenza; si può voler massimizzare gli introiti di una impresa o minimizzare il numero di vittime in presenza di una epidemia. Si può decidere come gestire le risorse naturali a disposizione, come e quando estrarle, trasformarle, ma sempre avendo in mente un preciso funzionale di costo che si limita a codificare la scelta dell'utente.

L'ottimalità di un controllo, quindi, è l'ottimalità di una strategia rispetto ad un obiettivo che nessuna equazione differenziale può scegliere al posto nostro. A noi decidere quale funzionale di costo prediligere per la gestione delle risorse che abbiamo a disposizione. Ai posteri le conseguenze delle nostre scelte.

 

 

Corrado Mascia

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