A come APPROSSIMAZIONE

On December 20, 2010

Un’idea comune e’ che la matematica sia la scienza ESATTA per eccellenza. Molto spesso, invece, in matematica capita di lavorare con quantita’ non esattamente determinate e il problema principale e’ di controllare l’errore che si commette.

 

La tipica situazione di questo genere e’ quella in cui si ha un problema che non si sa risolvere e di cui, per forza di cosa, si cerca una soluzione approssimata.

Ovvero, non si conosce la soluzione, ma si sa determinarne una versione ragionevolmente simile, indicando (in maniera precisa!) il senso in cui essa somigli alla soluzione che sto cercando.

Un esempio semplice per comprendere questo concetto e ottimo prototipo di partenza e’ il calcolo di un’area. Supponiamo di essere tutti d’accordo sul fatto che l’area di un rettangolo e’ data dalla formula ”base per altezza”. Come calcolare aree di regioni che non siano rettangoli? Senza speranza! (o quasi...). Un primo approccio possibile e’ quello di determinare delle approssimazioni dell’area richiesta. Ad esempio, l’area della regione sara’ certamente maggiore dell’area di un rettangolo in essa contenuto. E l’area del rettangolo e’ nota! Quindi abbiamo già fatto una stima per difetto dell’area richiesta. Quanto questo numero si discosta da quello che realmente cerchiamo? Solo con questo dato, non possiamo dire nulla. Con un minimo di fantasia in piu’, però, possiamo immaginare di ”inscatolare” la regione in un rettangolo che la contenga. Ecco una stima per eccesso: l’area della regione (incognita) e’ minore dell’area del rettangolo che la contiene (noto). Con la stima dall’alto e dal basso possiamo così anche controllare l’errore di approssimazione, che e’ minore o uguale alla differenza delle aree dei due rettangoli (quello contenente e quello contenuto).

Abbiamo in questo modo un valore approssimato dell’area e abbiamo una stima dell’errore commesso.

Puo’ capitare però che l’errore che commettiamo sia pero’ troppo grossolano, e ci serva una stima piu’ precisa. Come fare? Nel caso dell’area ci sono due ragionamenti possibili. Il primo e’ di ingrandire il rettangolo contenuto e rimpicciolire il rettangolo contenente. Strategia efficace, ma ci si rende rapidamente conto del fatto che non si riesce ad andare troppo in la’. Il secondo modo e’ piu’ intelligente: se conosciamo l’area di un rettangolo, conosciamo anche l’area di una regione composta da due, tre, quattro, una famiglia di rettangoli! Quindi possiamo migliorare l’approssimazione aggiungendo al precedente rettangolo contenuto un altro rettangolo. E cosi’ via. Nell’approssimazione per eccesso, occorrera’, evidentemente, togliere rettangoli. In questo modo siamo in grado di ottenere regioni approssimanti che si avvicinino sempre piu’ alla regione richiesta determinando un’approssimazione dell’area. L’errore commesso e’ sempre controllato dalla differenza delle aree delle regioni approssimanti, quindi migliora ad ogni passo.

Il numero di situazioni in cui i procedimenti di approssimazione entrano in gioco e’ elevatissimo. Impossibile farne un elenco. Un ambito in cui la cosa e’ particolarmente importante e’ quello dell’analisi numerica che, grosso modo, si interessa dell’approssimazioni di modelli applicati, tradotti in equazioni matematiche, tramite calcolatore. Ad esempio, esiste un modello ragionevolmente affidabile di propagazione di impulsi nervosi nei nostri neuroni (dovuto, in primis, ad Hodgkin ed Huxley). Il modello ha una sua traduzione matematica chiara, di cui non e’ affatto evidente trovarne una soluzione esplicita.

Come fare? Avvalersi del computer e’ un’ottima strategia... bisogna allora approssimare il modello con una versione che sia comprensibile al calcolatore. Una volta trovata la soluzione numerica approssimata e’ fondamentale stabilirne l’errore. E’ come pensare che il computer sappia calcolare solo aree di rettangoli e lo si voglia utilizzare per determinare approssimazioni di aree di regioni qualsiasi.

In definitiva, che vuol dire approssimare? Avvicinarsi... Ma il concetto di vicinanza e’ relativo. Quindi, a seconda di criteri di vicinanza diversi (ovvero maniere diverse di calcolare l’errore commesso), ci possono essere strade di approssimazione diverse. E’ un po’ quello che accade nell’arte: chi puo’ dire che un quadro di Picasso o di Boccioni rappresenti meno la realta’ di una fotografia? Strade diverse, tecniche diverse, possono inquadrare aspetti diversi della realta’ che ci circonda.
 


Corrado Mascia
 

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