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Il matematico belga Jean Bourgain è venuto a mancare il 22 dicembre scorso a Bonheiden (provincia di Anversa), all’età di 64 anni. Nato il 28 febbraio del 1954 a Ostenda (Belgio), Jean Bourgain  è stato uno dei maggiori matematici, più versatili e prolifici del nostro tempo. Nel 1994 gli è stata attribuita la Medaglia Fields e da allora è stato Professore all’Institute for Advanced Studies di Princeton. Le tecniche utilizzate e i risultati da lui ottenuti sono in primo luogo quelli dell’analisi matematica, ma l’impatto della sua produzione in molte altri settori, come la teoria analitica dei numeri, l’analisi combinatoria e la fisica matematica, ha mostrato ancora una volta quanto apparenti siano le frontiere tra le diverse aree della matematica. Nel 2016 era stato premiato in Italia con il prestigioso premio internazionale “Antonio Feltrinelli”, assegnato dall’Accademia dei Lincei, e qui vi proponiamo un breve profilo tracciato per l’occasione da Luigi Ambrosio, della Scuola Normale Superiore, in cui viene delineato brevemente l’enorme impatto di Bourgain sulla matematica contemporanea.

Il lavoro di Jean Bourgain copre molte diverse aree della matematica, elencate nel seguito. Lo si potrebbe considerare in primo luogo un analista, ma il suo lavoro ha avuto un impatto in molte aree vicine, per esempio in teoria dei numeri e fisica matematica. Una misura rozza dell’impatto del suo lavoro (\(\sim\)450 articoli) è dato dal numero di citazioni (\(\sim\)8500) e dal numero di matematici (\(\sim\)3500), che hanno citato i suoi articoli. Oltre 10 articoli hanno più di 100 citazioni. Bourgain può essere considerato come un risolutore di problemi, che si sposta rapidamente da una sfida all’altra, lasciando ad altri il compito di sviluppare in dettaglio le innovazioni concettuali e tecniche da lui introdotte.

Argomenti:

\(\bullet\) Geometria di spazi metrici/Banach
\(\bullet\) Geometria convessa in dimensione alta
\(\bullet\) Analisi armonica
\(\bullet\) Teoria della misura
\(\bullet\) Disuguaglianze di martingala e integrali singolari
\(\bullet\) Teoria ergodica
\(\bullet\) Equazioni alle derivate parziali non lineari
\(\bullet\) Teoria dei numeri

È difficile per una singola persona cogliere complessivamente e capire tutti i suoi contributi. Ho cercato di fare nel mio meglio, seguendo il mio gusto e la mia esperienza scientifica, elencando nel seguito alcuni dei suoi principali contributi secondo un vago ordine cronologico.

\(\bullet\) La proprietà di Radon-Nikodym per gli spazi di Banach \(E\) è stata studiata e caratterizzata (una delle molte definizioni equivalenti è basata sull’esistenza di densità per misure a valori in \(E\) assolutamente continue rispetto ad una misura di riferimento). In un lavoro congiunto con Delbaen (Acta Math., 1981), Bourgain  costruì uno spazio di Banach separabile con la proprietà di Radon-Nikodym che non si immerge in uno spazio duale separabile, negando quindi la congettura fatta da Uhl.

\(\bullet\) La dimostrazione della disuguaglianza di Grothendieck per \(H^\infty\) (lo spazio delle funzioni olomorfe e limitate sul disco \(D\)) e l’algebra sul disco  \(A=H^\infty\cap C(\overline{D})\), un risultato ricercato da matematici come Carleson e Varopoulos (Acta Math., 1984). Questa disuguaglianza, per  \(p\geq 1\) e un operatore lineare e continuo \(u:X\to Y\) tra spazi di Banach, prende la forma \[\sum_{i=1}^n\|u(x_i)\|_Y^p\leq C\sup\left\{\sum_{i=1}^n|\langle x_i,x^*\rangle|^p:\ x^*\in X^*,\,\,\|x^*\|_{X^*}\leq 1\right\},\] con \(x_1,\ldots,x_n\in X\), \(C\) independenti da \(n\). Bourgain ha dimostrato questo tipo di disuguaglianze estremamente non banali (poiché il \(\sup\) viene prima della \(\sum\)) per \(X=A\)\(X=H^\infty\) e \(Y\) un qualsiasi spazio \(\ell^q\) di successioni. Era il suo primo lavoro in Analisi armonica e per questo risultato gli è stato assegnato il premio Salem nel 1988.

\(\bullet\) La soluzione del problema \(\Lambda_p\) di Rudin (Acta Math., 1999). Bourgain introdusse nuove idee e prospettive nella teoria degli insiemi-\(\Lambda_p\). Per \(p>2\), un insieme-\(\Lambda_p\) è un insieme \(S\) di interi tali che qualsiasi serie di Fourier in \(L^2\) Fourier le cui frequenze siano in \(S\) è automaticamente in \(L^p\). In particolare ha risolto un problema posto da Rudin, mostrando che, per ogni \(p>2\) esiste un insieme-\(\Lambda_p\) che non è \(\Lambda_q\) per ogni \(q>p\). La dimostrazione usa una costruzione di tipo probabilistico.

\(\bullet\) Il suo primo lavoro sulla geometria convessa in molte dimensioni portò alla dimostrazione, in collaborazione con Milman (Inventiones, 1987), della cosiddetta disuguaglianza inversa di Santaló. In  questo settore uno studia delle specifiche disuguaglianze che valgono potenzialmente in dimensione infinita, partendo da disuguaglianze in dimensione finita con costanti universali, ossia che non dipendono dalla dimensione. In generale, le costanti universali vengono fuori con dimostrazioni ottimali, poiché tentativi meno sofisticati producono quasi sempre costanti che dipendono dalla dimensione. La disuguaglianza di Santaló dice che il prodotto dei volumi di un corpo simmetrico convesso \(C\) in \({\bf R}^n\) e del suo insieme polare \(C^0\) raggiunge il suo massimo sulla palla  \[\bigl({\rm vol}(C){\rm vol}(C^0)\bigr)^{1/n}\leq \bigl({\rm vol}(B){\rm vol}(B^0)\bigr)^{1/n}.\] Bourgain-Milan dimostrarono che l’inverso della disuguaglianza vale con una costante universale, e quindi il prodotto è essenzialmente indipendente dalla dimensione.

\(\bullet\) Oltre al suo contributo alla disuguaglianza di Grothendieck, in analisi armonica Bourgain ha risolto alcuni problemi lasciati aperti da Rudin, Stein e altri specialisti del settore. In particolare:

(a) Sul problema di Kakeya. Ha introdotti i metodi combinatorici e ottenuto miglioramenti sostanziali sulla congettura di Kakeya sulla dimensione di Hausdorff degli insiemi di Beiscovitch, ossia quei sottoinsiemi di \({\bf R}^n\) che contengono un segmento di lunghezza unitaria in ogni direzione. Si sa che ci sono insiemi di Besicovitch che hanno misura di Lebesgue nulla, e la congettura dice che devono avere la dimensione di Hausdorff uguale a \(n\). La congettura è stata dimostrata in dimensione \(n=2\), ma ci sono solo risultati parziali in dimensioni più alte.

(b) Soluzione del problema di Rudin sulla dimensione dell’insieme dei \(\theta\) per cui esiste il limite \[\lim_{r\uparrow 1}f(re^{i\theta})
\qquad\qquad\hbox{con $f:D\to{\bf C}$ analitiche limitate}\]
 In Duke 1993, Bourgain ha dimostrato che è sempre di dimensione di Hausdorff uguale a 1, un risultato ottimale, poiché Rudin ha dimostrato che può essere di misura di Lebesgue nulla.

(c) Ha completato l’analisi dell’operatore massimale sferico in \({\bf R}^n\), che assegna a ogni funzione \(f\) e ogni punto \(x\) l’estremo superiore delle medie \(|f|\) sulle sfere centrate in \(x\). Stein aveva dimostrato nel 1976 che, in dimensione \(n\ge3\), questo operatore è limitato in \(L^p\) per \(p>n/(n-1)\), una restrizione che non può essere rimossa in qualsiasi dimensione. Con un elegante metodo originale, nel 1983 Bourgain ha esteso il risultato di Stein in \({\bf R}^2\).

(d) Una delle conseguenza delle proprietà di limitatezza della funzione massimale sferica è che, per \(p>\frac32\), il classico operatore massimale di Hardy-Littlewood \(M_{B,n}:L^p({\bf R}^n)\to L^p({\bf R}^n)\) dato da \[M_{B,n}f(x):=\sup_{r>0}\frac{\int_{rB}f(x+y)\,dy}{{\rm vol}(rB)},\] (\(B\) è la sfera unitaria) ha una norma limitata da sopra da una costante che non dipende da \(n\). Nel 1986 Bourgain è stato in grado di provare che l’analoga funzione massimale \(M_{C,n}\), quando \(C\) è una regione simmetrica convessa, può essere limitata, per gli stessi valori di \(p\), indipendentemente da \(C\) e dalla dimensione.

(e) La misura armonica \(\omega_x\) fornisce una rappresentazione di \(f\) per \(x\in D\) mediante la formula \(\int_{\partial D}g(y)\,d\omega_x(y)\), in cui \(f\) è soluzione dell’equazione di Laplace \(-\Delta f=0\) su \(D\) con condizioni al bordo di Dirichlet \(f\vert_{\partial D}=g\). Per domini\(D\) regolari o Lipschitz, la dimensione del supporto di \(\omega_x\) è \((n-1)\) e la misura è mutualmente assolutamente continua rispetto a \({\cal H}^{n-1}\) (Dahlberg). Per domini generali il problema è molto più delicato. Bourgain ha dimostrato per la prima volta in dimensione \(n>2\) (Inventiones, 1987) che il supporto della misura armonica ha sempre una dimensione inferiore a \(\alpha(n)<n\), indipendentemente da quanto “cattivo” sia \(\partial D\) (frattale o anche peggio).

\(\bullet\) Spazi di Banach e metrici. Bourgain ha dimostrato (Israeli J. Math, 1985) che ogni spazio metrico di n punti si immerge in uno spazio di Hilbert con una distorsione di Lipschitz dell’ordine di \(O(\log n)\). Questa stima è ottimale, come dimostrato una decina di anni dopo da Linial-London-Rabinovich e Aumann-Rabani.  Questo risultato di immersione ha portato ad una fondamentale scoperta nel campo degli algoritmi di approssimazione nel 1995, ad opera di Linial-London-Rabinovich. Il lavoro di Bourgain era motivato da un programma di ricerca a lungo termini che lui stesso formulò nel suo famoso lavoro sulla caratterizzazione metrica della superriflessività (Israeli J. Math., 1986). Un teorema di M. Ribe del 1976 afferma che proprietà lineari finito-dimensionali di spazi  normati sono conservate per omeomorfismi uniformemente continui. Quindi, gli spazi normati mostrano una proprietà di forte rigidità: la loro struttura metrica determina le proprietà lineari dei loro sottospazi di dimensione finita. Questo dice molte cose sulla geometria degli spazi normati, ma uno può anche usarlo per capire la struttura degli spazi metrici che non hanno niente a che fare con gli spazi lineari, come i grafi, le varietà o i gruppi. Dal teorema di Ribe sappiamo che questi invarianti sono conservati negli omeomorfismi che sono quantitativamente continui, per cui in principio uno può riformularli usando solo la nozione di distanza, ossia senza riferirsi in nessun modo alla struttura lineare. Una volta ottenuto questo, uno può studiare queste proprietà nel contesto di spazi metrici generali, usando idee che originariamente avevano senso solo nel contesto degli spazi lineari, e usare queste idee per risolvere problemi in settori che a priori non c’entrano nulla con gli spazi normati, per esempio problemi di tipo informatico (in cui i dati sono visti come spazi metrici).

\(\bullet\) Teoremi ergodici. Questi teoremi sono un’estrema generalizzazione della legge dei grandi numeri in probabilità, in cui si afferma la convergenza quasi certa di medie aritmetiche di variabili reali indipendenti e identicamente distribuite \(X_1,\ldots,X_n….\). Nei teoremi ergodici, per esempio, la famiglia è generata dalle iterazioni di una singola applicazione \(T:X\to X\), per cui \(X_i=T^{(i)}\). Bourgain è stato il primo (Israeli J. Math., 1988) a identificare risultati di convergenza per medie speciali (quando \(X={\bf R}\), altrimenti la media aritmetica deve essere definita in modo adeguato) \[\frac {1}{n}\bigl(T^{k(1)}+\cdots+T^{k(n)}\bigr)\] con \(k(1)<k(2)<\cdots<k(n)\) che non sono in progressione aritmetica (per esempio \(k(n)=n^2\)). Parlando di questi risultati Elias Stein scrisse : “le sue idee resero disponibili i metodi della teoria analitica dei numeri e aprirono la strada a molti nuovi sviluppi in analisi armonica discreta”.

\(\bullet\) Equazioni alle derivate parziali non lineari. Bourgain è stato un pioniere degli sviluppi degli ultimi 25 anni nella teoria della buona positura per equazioni nonlineari dispersive, e in particolare le equazioni di Schrödinger e Korteweg de Vries. Soffermiamoci sulla prima: \[iu_t-\Delta u=|u|^pu.\] Se cerchiamo la soluzione \(u:{\bf T}^n\to{\bf C}\) (siamo sul \(n\)-toro, trascuriamo le condizioni al bordo) nella classe \(H^{s,2}\), la regolarità critica suggerita da argomenti di riscalamento è \(s_*=n/2-2/p\). Se guardiamo il caso sottocritico \(s<s_*\), i soliti argomenti perturbativi non sono sufficienti a fornire una soluzione. Il grande progresso compiuto da Bourgain è la dimostrazione della buona positura globale e quasi certa dell’equazione nel caso \(n=2\), \(p=2\) (per \(s=-\epsilon<s_*=0\)). Questo risultato è notevole se confrontato con risultati analoghi in probabilità, poiché nessuna perturbazione aleatoria o viscosa dell’equazione è stata considerata. Anche la teoria in dimensione finita di Di Perna-Lions, basata sull’unicità del flusso, non dà un risultato altrettanto forte. Il nuovo paradigma stabilito da Bourgain è basato sulla costruzione di misure concentrate su condizioni iniziali “migliori”, in cui però “migliore” non deve essere inteso nel senso di regolarità spaziale. Tra l’altro, questa buona positura globale genera anche un bel sistema dinamico hamiltoniano in dimensione infinita con una misura di Gibbs invariante. Questo grande risultato ha generato un’enorme quantità di lavori, e infatti, anche per la dimensione della comunità di equazioni alle derivate parziali, è uno dei lavori più citati di Bourgain.

\(\bullet\) Forse uno dei più notevoli risultati recenti di Bourgain è la risoluzione completa della congettura di Vinogradov che resisteva da 80 anni. Non sono particolarmente esperto del settore, ma questo è quello che ho capito. Per degli interi \(k,\,N\), sia \[f_k(x,N)=\sum_{n=1}^N e(nx_1+n^2x_2+\cdots+n^kx_k)\] con la notazione usuale \(e(t)=e^{2\pi it}\), e, per un altro intero \(s\), sia \[J_{s,k}(N):=\int_{[0,1]^k}|f_k(x,N)|^{2s} dx_1\cdots dx_k.\] Usando l’ortogonalità degli esponenziali, si dimostra che \(J_{s,k}(N)\) conta il numero di soluzioni intere del sistema di \(k\) equazioni \[n_1^j+\cdots+n_s^j=n_{s+1}^j+\cdots+n_{2k}^j
\qquad\quad (1\leq j\leq k)\]
 con \(1\leq n_i\leq N\), \(i=1,\ldots,2s\).

La stima della quantità \(J_{s,k}(N)\), introdotta da Vinogradov, è importante in problemi analitici e combinatorici della teoria dei numeri (problema di Waring, somme di Weyl, etc.). La congettura di Vinogradov dice che, fissati \(k,\,s\), per ogni \(\epsilon>0\) si ha \[J_{s,k}(N)\ll N^{s+\epsilon}+N^{2s-n(n+1)/2+\epsilon}\] as \(N\to\infty\). Risultati parziali era conosciuti, e Wooley aveva risolto i casi \(k=1,2,3\) e certi intervalli di valori \(s\) e \(k\). La soluzione completa è stata ottenuta da Bourgain, in collaborazione con Demeter e Guth. A differenza della dimostrazione di Wooley, basata sul cosiddetto metodo di fare congruenze efficentemente, la loro dimostrazione è basata su nuovi strumenti di analisi armonica. In particolare, in un lavoro precedente con Demeter su Annals del 2015, Bourgain ha dimostrato delle proprietà di disaccoppiamento in \(L^{n(n+1)}\) (una specie di proprietà di ortogonalità debole, molto più flessibile della classica ortogonalità in \(L^2\)) per la famiglia di trasformate di Fourier \[f_i(x)=\int_{\gamma(J_i)}e(x\cdot \xi)\,d\sigma(\xi)\qquad\hbox{con}\qquad J_i=\gamma([\frac{(i-1)} N, \frac iN])\]associate alle curve di potenza  \(\gamma(t)=(t,t^2,\ldots,t^n)\), \(t\in [0,1]\). Questa è la nuova idea chiave nella dimostrazione della congettura di Vinogradov. Una descrizione più estesa la potete trovare nel blog di Terence Tao.

Luigi Ambrosio
Scuola Normale Superiore 

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