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Dopo il profilo di Michael Atiyah proposto la settimana scorsa da Francesca Arici (qui), è la volta di un ricordo di Corrado De Concini.

La morte di Sir Michael Atiyah è un enorme lutto per la Matematica. Atiyah è stato senza dubbio uno dei matematici pi influenti della seconda meà del XX secolo e un mito per i matematici della mia generazione.

Atiyah ha studiato al Trinity College, Cambridge dove ha conseguito il Ph.D. in Matematica nel 1955 con una tesi di Geometria Algebrica sotto la direzione di W. V. D. Hodge. Il titolo della tesi “Some Applications of Topological Methods in Algebraic Geometry”, che riguarda la definizione generali di integrali di seconda specie su una variet algebrica, fa intravedere la sua futura passioni per la topologia. L’anno seguente Atiyah lo passa all’Institute for Advanced Study di Princeton. Qui oltre a completare un suo importante lavoro in ambito algebro-geometrico sulla classificazione dei fibrati vettoriali su una curva ellittica, conosce alcuni dei suoi principali amici e collaboratori in particolare R. Bott, F. Hirzebruch e I. Singer.

Questi incontri hanno un’influenza enorme sulla sua Matematica. Bott aveva appena dimostrato il famoso teorema di periodicità e Hirzebruch aveva dimostrato qualche anno prima il teorema di Riemann-Roch generale per una varietà algebrica. Con Bott, Atiyah ha scritto 16 articoli, fra i quali i famosi articoli sul teorema dei punti fissi, la dimostrazione, ottenuta con V.K. Patodi, del Teorema dell’indice via l’equazione del calore e il lavoro sull’equazione di Yang-Mill sulle superfici di Riemann.

Con Hirzebruch, Atiyah ha scritto 9 articoli contenenti fra le altre cose a definizione della K-teoria topologica e una versione del teorema di Riemann-Roch per varietà differenziabili (1959), che è un primo passo avanti verso il teorema dell’indice.

Con Singer, che rispetto ad Atiyah ha una formazione più analitica e geometrico differenziale, Atiyah ha scritto 19 articoli. Fra questi basta ricordare quelli sul teorema dell’indice (per entrambi il contributo più importante che fra le altre cose è stato premiato con il premio Abel) e quelli con Patodi sui teoremi dell’indice per varietà con bordo.

Ecco come vengono descritti i rapporti fra i quattro nel volume Fields medallist Lectures , (World Scientific 1997) probabilmente dallo stesso Atiyah che del volume è uno degli editori: “Michael Atiyah has contributed to a wide range of topics in mathematics centring around the interaction between geometry and analysis. His first major contribution (in collaboration with F. Hirzebruch) was the development of a new and powerful technique in topology (K-theory) which led to the solution of many outstanding difficult problems. Subsequently (in collaboration with I. M. Singer) he established an important theorem dealing with the number of solutions of elliptic differential equations. This ’index theorem’ had antecedents in algebraic geometry and led to important new links between differential geometry, topology and analysis. Combined with considerations of symmetry it led (jointly with Raoul Bott) to a new and refined ’fixed point theorem’ with wide applicability.”

Mi piace pensare ai quattro come ad un gruppo di amici che si integrano a vicenda creando collaborazioni straordinarie. Bott più topologo, Hirzebruch geometra algebrico, Singer analista con Atiyah sopraffino geometra nel senso più alto nel ruolo di coordinatore e ispiratore.

Naturalmente i contributi di Sir Michael non si fermano a questi. A parte l’articolo sull’equazione di Yang Mill scritto con Bott, che segna l’inizio del sue interesse per equazioni non lineari della fisica, vorrei ricordare lo studio della coomologia equivariante (con G. Segal), le proprietà della applicazione momento e sue applicazioni (di nuovo con Bott) e molto altro.

Alcuni suoi contributi sono mitici. Per esempio, Adams nel complicato e lungo articolo “On the non-existence of elements of Hopf invariant one.” Ann. of Math. (2) 72 1960 pp. 20-104, aveva risolto il famoso problema dell’invariante di Hopf uguale a 1. Quando ero studente si raccontava che Atiyah, mentre si trovava a Bonn per  il Mathematische Arbeitstagung, incontro annuale organizzato da Hirzebruch, avesse scritto a Adams una cartolina postale con la sua dimostrazione ottenuta usando la K-teoria: la dimostrazione appare come Theorem 3.2.3 nelle note “M. Atiyah, K-theory” o nell’articolo “Adams, J. F.; Atiyah, M. F. K-theory and the Hopf invariant. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 17 1966 31-38.”

In anni più recenti Sir Michael, sotto l’influenza di R. Penrose e più tardi di E. Witten, era diventato un grande fautore dell’interazione fra Fisica teorica e Matematica. Non sono affatto esperto di Fisica, dunque non riesco a valutare l’impatto delle idee geometriche sulla Fisica. D’altra parte in Matematica, idee provenienti dalla Fisica hanno portato progressi notevoli, penso allo studio degli invarianti di Gromov Witten, alla teoria dell’intersezione sullo spazio dei moduli delle superfici di Riemann, la teoria dei nodi e molto altro. Insomma anche in questo Sir Michael, attraverso la sua opera di persuasione, ha dato contributi giganteschi.

Il numero di cariche ricoperte ed onori ricevuti da Atiyah negli anni è enorme e può essere facilmente reperito, dunque mi limiterò ad elencarne solo uno, italiano. Atiyah è stato insignito del Premio Feltrinelli internazionale per la Matematica nel 1981. Dopo di lui il solo matematico a ricevere questo premio è stato J. Bourgain nel 2016, anche lui recentemente scomparso.

Sir Michael aveva opinioni forti e non esitava ad esternarle. Non credo gli piacesse molto la manipolazione e dunque non amava l’Algebra quanto la Geometria. Il suo matematico prediletto nel XX secolo era Hermann Weyl, mentre non credo amasse molto Hilbert o il Bourbaki. Insomma, come disse pubblicamente in una delle due occasioni in cui l’ho incontrato, faceva sua la massima di Weyl: “Nel mio lavoro cerco sempre di unire alla verità la bellezza, ma quando devo scegliere tra l’una o l’altra, in genere scelgo la bellezza.”

Atiyah era un insegnante formidabile. Ricordo un suo colloquium a Harvard nel 1981 su Matematica e Fisica in cui la platea era del tutto conquistata. I suoi articoli sono scritti in modo brillantissimo anche se lasciano al lettore molti piccoli dettagli e talvolta contengono errori minori.

Secondo il Mathematics Genealogy Project, Atiyah ha avuto 24 allievi diretti e 747 discendenti. Insomma anche attraverso la sua scuola, la sua influenza sulla Geometria e Topologia moderne è stata ed è enorme.

Pur essendo io stato studente di G. Lusztig che è a sua volta studente di Michael Atiyah, non ho avuto molte occasioni di incontrarlo. Ne ricordo due. La prima fu nel 1974 in un supermercato a Bures-sur-Yvette. Se ricordo bene fummo presentati da Lusztig con cui stavo facendo la spesa. Pensai di essere entrato in paradiso.

La seconda fu a Roma nel 2003, in occasione del Festival della Matematica. Atiyah teneva una Lectio Magistralis dal titolo ispirato appunto da H.Weyl) “Bellezza e Verità in Matematica”. Mi fu chiesto di presentarlo, probabilmente in quanto uno dei pochi se non l’unico suo “discendente” italiano. Scambiammo qualche parola e mi istruì su cosa voleva che dicessi. Poi parlammo un poco di Lusztig e del mio passato in Inghilterra. Insomma, una gentile e formale conversazione.

Corrado De Concini

 

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