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Un famoso problema matematico che ha impegnato i ricercatori per molti anni ha trovato un’elegante soluzione elaborata dai matematici della Cornell University. Il dottorando Yash Ladha, lavorando con Justin Moore, professore di matematica, ha trovato una soluzione geometrica per il problema von Neumann-Day, per la prima volta descritto dal matematico John von Neumann nel 1929.

Lodha ha presentato la sua soluzione al simposio di Teoria Geometrica e Coomologica dei Gruppi della London Mathematical Society tenutosi ad agosto, ed ha inviato il suo articolo ad una rivista. “I presenti sono stati molto entusiasti del mio lavoro”, ha dichiarato Lodha, “dato che la soluzione trovata è naturale e sufficientemente interessante da meritare di essere studiata anche di per sé.” [cioe’ al di la’ del fatto che fornisca una soluzione al problema]
Lodha lavora nel campo della teoria geometrica dei gruppi. Un gruppo è una costruzione matematica che descrive le simmetrie degli oggetti, sia che si tratti di oggetti fisici che di spazi astratti. Per esempio, un poligono ha simmetrie dovute sia alle rotazioni che alle riflessioni, le quali, insieme all’operazione di composizione, costituisce quello che è chiamato gruppo finito, poiché il poligono può essere descritto come una sequenza finita di operazioni che riflettono le sue simmetrie.

Formalmente, un gruppo può essere descritto come le parole di un alfabeto unite ad un insieme di regole che vengono chiamate “relazioni”. I ricercatori che studiano i gruppi, sostiene Lodha, sono come dei biologi che classificano le specie; i matematici cercano di classificare i gruppi che hanno delle proprietà, A,B o C — ma esistono oggetti che soddisfano la proprietà A ma non la C?

L’ispirazione per lo studio di Lodha ha origine all’inizio del XX secolo, quando i matematici per la prima volta provarono che una palla tridimensionale può essere decomposta in un numero finito di pezzi — “come strappare un pezzo di carta senza allungarlo o accartocciarlo,” ha spiegato Lodha – e può essere riassemblata, come in un puzzle, formando due sfere, ognuna della dimensione della sfera originale. Questo è noto come il paradosso di Banach-Tarski.
Von Neumann, studiando questo paradosso, fu il primo a spiegarne i motivi: egli lo attribuì non alla geometria dello spazio 3D, ma alle proprietà algebriche delle simmetrie intrinseche della sfera. Lui fu il primo ad isolare questa proprietà, che oggi i matematici chiamano “non-amenabilità.”
von Neumann inoltre osservò che se un gruppo contiene gruppi liberi, ossia gruppi aventi un alfabeto finito e nessuna regola, allora esso deve essere non-amenabile.
Egli si chiese anche se fosse vero il viceversa: ci sono gruppi che non contengono gruppi liberi e tuttavia sono non-amenabili? Il problema, successivamente reso popolare da M. M. Day, ha dovuto attendere 40 anni prima che il matematico Alexander Olshanskii riuscisse a risolverlo, utilizzando però un gruppo avente un numero infinito di regole.

Passarono altri 20 anni prima che Olshanskii e Mark Sapir riuscissero a trovare un’altra soluzione in risposta al problema von Neumann-Day.
Questa volta, il loro esempio era governato da un numero finito ma molto grande di regole, vicino a 10^200. Esso mancava anche di un modello naturale geometrico. Così i matematici continuarono a cercare un gruppo con un numero finito di regole, che fosse non-amenabile e che non contenesse gruppi liberi.
Per la prima volta, Lodha descrive un gruppo che ha solo nove regole, possiede un modello geometrico naturale, è non-amenabile e non contiene gruppi liberi.
I progressi in matematica sono quasi tutti sequenziali e basati su lavori precedenti, ha affermato Lodha. Per completare il suo lavoro, tra le sue più preziose intuizioni ce n’è una descritta per la prima volta da Bill Thurston, medaglia Fields e Jacob Gould Schurman Professor of Mathematics alla Cornell, che fornisce un modo per descrivere i gruppi sotto un’ottica differente, come modelli di frazioni continue.
Il lavoro di Lodha si basa anche fortemente sul lavoro di Nicolas Monod, che aveva costruito un controesempio, ispirato dalla geometria ma privo di un numero finito di regole, al problema di von Neumann-Day. Il contributo di Lodha e Moore è stato quello di isolare un sottogruppo dell’esempio di Monod avente un numero finito (nove) di relazioni.
Ulteriori studi su tale gruppo, che non ha ancora un nome, potrebbero fornire una soluzione ancora più forte al problema di von Neumann-Day: isolando condizioni di finitezza più forti per provare che il gruppo ha un numero finito di relazioni.  La ricerca è stata supportata dalla National Science Foundation.

A cura di Alice Sepe

 

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