Tao si avvicina alla congettura debole di Goldbach

On May 30, 2012

Uno dei più antichi problemi irrisolti della matematica è la congettura debole di Goldbach: un qualsiasi numero dispari si può scrivere come somma di al massimo tre numeri primi.  Il matematico Terence Tao della University of California, Los Angeles, ha fatto un importante passo in avanti nella dimostrazione di questa congettura...

 

Uno dei più antichi problemi irrisolti della matematica è molto facile da comprendere. Infatti la congettura debole di Goldbach afferma che un qualsiasi numero dispari si può scrivere come somma di al massimo tre numeri primi (numeri che possono essere divisi solo per 1 e per se stessi). Per esempio:

35 = 19 + 13 + 3                                o                                 77 = 53 + 13 + 11

Il matematico Terence Tao della University of California, Los Angeles, ha fatto un importante passo in avanti nella dimostrazione di tale congettura: ha dimostrato infatti che ogni numero dispari può essere scritto come somma al massimo di cinque primi, ed è speranzoso di riuscire ad abbassare tale numero a tre.

Al di là della soddisfazione di risolvere un problema così antico che ha impegnato le menti di illustri matematici, Tao afferma che raggiungere questo ambito risultato potrebbe portare idee utili anche in altri problemi più vicini alla vita reale – per esempio per crittografare dati sensibili.

La congettura debole di Goldbach fu proposta nel diciottesimo secolo dal matematico Christian Goldbach. Essa ha anche una proposizione corrispondente valida per i numeri pari, detta la congettura forte di Goldbach anche se fu realmente formulata dal suo collega Leonhard Euler. La versione forte dice che ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due primi. Come il suo nome implica, la versione debole dovrebbe essere deducibile da quella forte, se essa fosse vera. Infatti, in tal caso, per scrivere un numero dispari come somma di tre primi sarebbe sufficiente sottrarre 3 a tale numero e poi applicare la congettura forte al numero pari ottenuto.

I matematici hanno testato la validità di entrambe le congetture con un computer per tutti i numeri composti di massimo 19 cifre, e non hanno mai trovato un’eccezione. Tenendo conto che più grande è il numero più modi esistono per scriverlo come somma di altri numeri, se la congettura fosse vera funzionerebbe meglio con numeri grandi. A conferma di ciò i matematici hanno dimostrato che, se esistessero delle eccezioni alla congettura forte, esse dovrebbero diventare sempre meno frequenti quando il numero cresce verso infinito.

Nel caso debole, un classico teorema degli anni ‘30 dice che ci sono al massimo un numero finito di eccezioni alla congettura. In altre parole, la congettura debole è vera per numeri “sufficientemente grandi”.

Tao combina i risultati ottenuti mediante il computer e validi per numeri sufficientemente piccoli con quelli che si applicano ai numeri sufficientemente grandi. Migliorando calcoli precedenti con molte “piccole modifiche”, lui afferma di aver mostrato che può portare i due intervalli di validità a sovrapporli –fino a che può usare cinque numeri primi. Poi, Tao spera di estendere il suo approccio e mostrare che tre primi bastano in tutti i casi. Tuttavia questo non sembra molto di aiuto con la congettura forte.

La congettura debole è incomparabilmente più semplice, afferma Tao, poiché nel dividere un numero nella somma di tre numeri, “ci sono molteplici possibilità di essere fortunati e ottenere tutti numeri primi.” Così, 250 anni dopo la morte di Goldbach, nessuno ha trovato la soluzione alla sua grande sfida.

 

A cura di Alice Sepe

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