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E’ possibile sfruttare un sistema che si ispira al meccanismo di funzionamento dei sonar per far desumere la forma di una stanza a dei droni dotati di generatori di impulsi e microfoni? Hanno cercato di rispondere a questa domanda Mireille Boutin (Purdue University) e Gregor Kemper (Technische Universität München Zentrum Mathematik), in un articolo di prossima pubblicazione sulla rivista SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry.
“I microfoni, posizionati su un drone, raccolgono un breve impulso sonoro che rimbalza su superfici planari finite, le ‘pareti’. Quando un microfono ‘sente’ un suono che è rimbalzato su una parete, viene registrata la differenza di tempo tra l’emissione e la ricezione del suono. Questa differenza di tempo permette di risalire alla configurazione distanza percorsa dal suono durante quel tempo”, spiega Boutin.

Gli autori utilizzano una tecnica di modellazione caratterizzata dal fatto che si concentra sugli echi del primo ordine: questo metodo interpreta il suono di rimbalzo come proveniente da una sorgente virtuale posta dietro il muro anziché dalla sorgente effettiva, il che consente a un punto di sorgente virtuale di rappresentare ciascun muro. “Le differenze di tempo tra emissione e ricezione forniscono la distanza tra il microfono e il punto di sorgente virtuale”, continua Boutin, “se conosciamo la distanza da uno di questi punti di sorgente virtuale a ciascuno dei quattro microfoni, possiamo recuperare le coordinate della sorgente virtuale e successivamente ricostruire quattro punti sul muro – e quindi il piano che contiene il muro”.

Tuttavia, i microfoni non sono in grado di determinare la distanza corrispondente a ciascun punto di sorgente virtuale, ovvero a ciascun muro. Per questo motivo, Boutin e i suoi colleghi hanno progettato un metodo per etichettare le distanze correlate a ciascun muro, un processo che hanno chiamato “ordinamento dell’eco”.

La tecnica di ordinamento dell’eco utilizza un polinomio come test di screening e scopre se le quattro distanze si trovano nell’insieme degli zeri di un determinato polinomio in quattro variabili. Un valore diverso da zero rivela invece che le distanze non possono essere relative alla stessa parete. In alternativa, distane che azzerano il polinomio, allora potrebbero provenire dalla stessa parete.

Questo studio dimostra che ricostruire una stanza tramite gli echi del primo ordine acquisiti da quattro microfoni è un problema teorico ben posto in condizioni generiche. “Questo è un primo passo verso la risoluzione del corrispondente problema nel mondo reale”, osserva Boutin. “Se il problema non fosse ben posto, una soluzione pratica richiederebbe maggiori informazioni. Sapendo che è ben posto, possiamo passare al passo successivo: trovare un modo per ricostruire la stanza quando le misurazioni dell’eco presentano dei ‘rumori'”.

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