Dietro le partizioni dei numeri si nascondo….i frattali!

On July 31, 2011

Per secoli alcuni dei matematici più famosi si sono interessati allo studio delle partizioni dei numeri, senza riuscire a definire una teoria completa e lasciando irrisolte molte domande.

In un recente studio, il matematico Ken Ono dell’Università di Emory, ha ideato una nuova teoria che è in grado di rispondere ad antiche e note domande sulle partizioni di un numero, (ovvero sequenze di numeri positivi che sommati danno quel numero).

Ken Ono e il suo gruppo di ricerca, hanno infatti scoperto che le partizioni dei numeri primi si comportano in realtà come frattali. Le proprietà di divisibilità delle partizioni individuate, hanno permesso di vedere come la loro sovrastruttura si ripeta infinitamente.

Inoltre hanno ideato la prima formula finita per calcolare le partizioni di qualsiasi numero.

“Il nostro lavoro si basa su idee completamente nuove per questi problemi” ha detto Ono. “Noi abbiamo provato che le partizioni dei numeri primi sono “frattali”. Il nostro procedimento di ingrandimento risolve molte delle congetture ancora aperte e può cambiare il modo in cui i matematici studiano le partizioni.”

Questo lavoro è stato finanziato dall’American Institute of Mathematics (AIM) e dal National Science Foundation. Lo scorso anno l’AIM ha raggruppato i maggiori esperti mondiali sulle partizioni, incluso Ono, per risolvere alcuni dei più importanti problemi aperti in questo campo. Ono, professore sia dell’Università di Emory che dell’Università del Wisconsin a Madison, ha guidato il gruppo formato da: Jan Bruinier della Technical University di Darmstadt in Germania, Amanda Folsom dell’Università di Yale e Zach Kent post doc dell’Università di Ermony.

“Ken Ono ha ottenuto scoperte assolutamente straordinarie nella teoria delle partizioni”, ha affermato George Andrews, professore alla Pennsylvania State e presidente della American Mathematical Society.“Ha dimostrato le proprietà di divisibilità della funzione partizione e ciò è stupefacente. Ha fornito un sovrastruttura a cui nessuno prima di lui aveva pensato. E’ un fenomeno.”

La partizione di un numero può sembrare quasi un gioco per la sua semplicità. Ad esempio 4=3+1=2+2=1+1+1+1. Esistono quindi 5 partizioni del numero 4. Fin qui tutto è semplice ma, le partizioni dei numeri aumentano con un tasso incredibile. Ad esempio il numero totale delle partizioni del numero 10 è 42. Mentre per il numero 100, le partizioni superano 190.000.000.

“Le partizioni dei numeri sono folli sequenze di interi che vanno verso l’infinito” ha affermato Ono “tale successione suscita meraviglia ed ha affascinato i matematici per molto tempo”.

Nonostante la semplicità della definizione, fino alle scoperte del gruppo di Ono, nessuno era stato in grado di svelare il segreto della complessa struttura che si nascondeva dietro questa rapida crescita.

Nel diciottesimo secolo il matematico Eulero ha sviluppato una prima tecnica ricorsiva per calcolare il valore delle partizioni dei numeri. Il metodo però era lento e comunque non praticabile per numeri grandi.

Nei successivi 150 anni tale metodo è stato implementato con successo per calcolare solo partizioni dei primi 200 numeri.“Nell’universo matematico ciò significa di non essere in grado di vedere oltre Marte” ha detto Ono.

Agli inizi del ventesimo secolo Srinivasa Ramanujan e G. H. Hardy hanno inventato il metodo circolare che è in grado di ottenere una prima approssimazione delle partizioni per i numeri oltre 200. Ma tale metodo essenzialmente non aspirava a cercare una risposta esatta,“accontentandosi” di un’approssimazione.

Anche Ramanujan aveva osservato strane strutture nella partizione dei numeri. Nel 1919 aveva notato che il numero di partizioni del numero 5n+4 (rispettivamente 7n+5, 11n+6) era un multiplo di 5 (rispettivamente 7, 11).

Nel 1937 Hans Rademacher trovò una formula esatta per calcolare il valore delle partizioni. Anche se questo metodo era un grande miglioramento rispetto alla formula esatta di Eulero, richiedeva la somma di una serie di numeri che avevano infinite cifre decimali.

Nei decenni successivi, diversi matematici hanno continuato a studiare tale problema, aggiungendo dei tasselli mancanti a questo puzzle. Ma, nonostante i progressi fatti, non sono stati in grado di trovare una formula finita per la partizione dei numeri.

Il “dream team” di Ono ha studiato il problema per mesi. “Qualsiasi cosa provavamo non funzionava” ha detto il leader del gruppo. Il punto di svolta è avvenuto inaspettatamente lo scorso settembre, quando Ono e Zach Kent stavano facendo un’ escursione alle cascate Tallulah in Georgia. Mentre stavano camminando attraverso i boschi, hanno notato la struttura dei gruppi di alberi, ed hanno iniziato a pensare a come potesse essere camminare attraverso le partizioni dei numeri. “Eravamo in cima a delle enormi rocce dove potevamo vedere tutta la valle ed ascoltare il rumore delle cascate, quando abbiamo realizzato che le partizioni dei numeri sono frattali” ha detto Ono “ed entrambi abbiamo iniziato a ridere”.

Il termine frattale fu inventato nel 1980 da Benoit Mandelbrot, per descrivere ciò che sembra irregolare nella geometria delle forme naturali. Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento.

Con la loro semplice camminata nei boschi Ono e Kent hanno ideato una teoria che rivela una nuova classe di frattali “E’ come se non avessimo bisogno di vedere tutte le stelle nell’universo perché la struttura continua a ripetersi per sempre, e quindi può essere vista in una camminata di 3 miglia alle cascate Tallulah” ha detto Ono.

Con questa teoria dei frattali è possibile provare le congruenze di Ramanujan. Il gruppo ha dimostrato che le proprietà di divisibilità delle partizioni dei numeri sono frattali per ogni numero primo. “Le successioni sono tutte eventualmente periodiche e si ripetono più e più volte ad intervalli precisi”, ha affermato Ono, aggiungendo “E’ come ingrandire in un insieme di Mandelbrot” riferendosi al più famoso frattale.

Ma questa straordinaria visione dentro la sovrastruttura della partizione dei numeri non era sufficiente per il gruppo di ricercatori, determinato ad andare oltre la teoria e trovare una formula che potesse essere implementata.

L’altro episodio fondamentale per la loro ricerca, è avvenuto in un altro noto luogo della Georgia, la “spaghetti junction”. Ono e Jan Bruinier erano bloccati nel traffico nei pressi del noto scambio per Atlanta. Mentre stavano chiacchierando in macchina, cercavamo di trovare un modo per eliminare l’infinita complessità del metodo di Rademache. Il loro obiettivo era quello di provare una formula che richiedesse solo un numero finito di numeri.

“Abbiamo trovato una funzione, P, che è una sorta di oracolo magico”ha affermato Ono. “Posso prendere qualsiasi numero, inserirlo dentro P ed istantaneamente calcolare le partizioni di quel numero. P non da come risultato un numero terribile con infinite cifre decimali. E’quella formula algebrica finita che stavamo tutti cercando.”

Il lavoro di Ono e dei suoi colleghi è descritto in due lavori che saranno presto disponibili sul sito del AIM.

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