Superfici di seta: la geometria negli abiti di Roberto Capucci

Roberto Capucci, lo stilista che, per eccellenza, ha saputo usare volumi, superfici e colori per trasformare abiti in sculture, architetture, poesie e più generalmente in opere d’arte, ha creato un mondo che architetti, sovrintendenti, storici dell’arte hanno interpretato e descritto ognuno secondo la propria specializzazione: Capucci l’artista, lo scultore, il creatore di mondi fantastici e infinitamente eleganti. La mostra e l’intervento che la accompagna assume intenti e metodologia diversi rispetto a quanto sia stato fatto sinora, ma si pone in modo complementare piuttosto che antagonista. Ci si propone infatti di descrivere gli abiti di Capucci usando concetti precisi della geometria differenziale e della geometria algebrica, come la curvatura, le rigate, i fibrati tangenti. Questa operazione sarà condotta con intento tra il botanico/classificatorio e il filosofico.

Dal Teorema Egregium al pallone da calcio.

Il Teorema Egregium di Gauss recita: “Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.” Che si può tradurre in termini matematici: “Se due superfici regolari sono isometriche allora in ogni punto hanno la stessa curvatura”. Ricordiamo le definizioni delle parole che entrano in questo teorema. Qui Gauss, parla di superfici regolari, cioè senza spigoli. Poi, due superfici sono isometriche se esiste una applicazione biettiva che conservi le distanze tra i punti (cioè una sorta di trasformazione che sia in grado di trasformare l’una nell’altra ma mantenendo inalterate le distanze che due punti qualsiasi avevano in origine). Gauss spiega bene questo concetto usando il termine explicatur per descrivere il fatto che due superfici che sono isometriche possono essere “stese” una sopra l’altra anche se non sono elastiche (si pensi al foglio di carta che si può stendere, arrotolare, su un cilindro).

Per definire il concetto di curvatura di una superficie in un punto, si ricorda che la curvatura in un punto P di una curva piana, misura quanto è incurvata e quindi è pari all’inverso del raggio del cerchio che meglio approssima la curva nel punto P.

In questa ottica diremo che una retta (che non è incurvata) ha curvatura nulla perché approssimata dal cerchio di raggio infinito. Per determinare il segno della curvatura bisogna fissare un verso di percorrenza della curva e si intenderà che la curvatura è positiva se percorrendo la curva il cerchio è sulla destra ed è negativa se il cerchio è sulla sinistra.

La curvatura di Gauss in un punto P di una superficie si ottiene considerando prima la curvatura in P di tutte le curve piane intersezione della superficie con un piano passante per P e ortogonale al piano tangente, e poi facendo il prodotto tra la maggiore e la minore delle curvature trovate.

Il lettore si convincerà facilmente che la curvatura della sfera di raggio R è (1/R)´(1/R)=1/R2. Mentre nel caso del cilindro che ha per sezione il cerchio di raggio R, siccome l’intersezione con il piano che contiene l’asse del cilindro è una retta che ha curvatura nulla (curvatura minima) mentre la curvatura massima è proprio 1/R; si ottiene che la curvatura di Gauss è 0´(1/R)=0.

Dunque il teorema egregium afferma che due superfici che si possano in qualche modo “stendere in modo non elastico” una sopra l’altra devono avere la stessa curvatura. Questo in particolare significa, per esempio, che con il cuoio (che è un materiale non elastica) che ha curvatura nulla non si può ricoprire un pallone da calcio che, essendo una sfera, ha curvatura 1/R2. Questo ovviamente sembra contraddire il fatto che i palloni da calcio sono in cuoio!

È facile convincersi che questo semplice problema del pallone da calcio è esattamente rappresentativo del problema di confezionare vestiti che sono fatti con delle stoffe, che sono delle superfici con curvatura zero, e che devono ricoprire il corpo umano che non ha curvatura nulla, in quasi nessuna parte di esso.

Il problema del vestirsi è stato risolto in vari modi a seconda dei periodi storici ma con, fondamentalmente, tre modalità.

1) Abiti che non seguono la linea del corpo:
Quasi senza cuciture, molti abiti tradizionali non sono altro che un gioco di pieghe come il Sari o la Toga. In questa stessa categoria, ma con una costruzione più interessante dal punto di vista geometrico, possiamo considerare la gonna a ruota oppure il Kimono che, con un sapiente gioco di rispettivamente tondi e rettangoli, si distaccano dal corpo evitando il più possibile le zone del corpo che hanno curvatura non nulla.

2) Abiti che non sono superfici regolari:
Usando pieghe, cuciture e cugni, la stoffa non è più una superficie regolare, ma la presenza di "pieghe" la rende irregolare e dunque, per dirlo come i matematici non siamo più nelle ipotesi del teorema di Gauss. Così si spiega anche il pallone da calcio che non è una sfera ma un poliedro, le cuciture tra i lati danno “curvatura” al cuoio.

3) Stoffe elastiche:
Il jersey, la maglia, etc.. sono delle stoffe elastiche, e per tanto se usate per "ricoprire" altre superfici, non è necessario che le due superfici siano "isometriche";

Curvature in alcuni abiti di Capucci

Da questo excursus, il lettore avrà intuito che le superfici più difficili da realizzare con la seta sono quelle che hanno dei punti di curvatura negativa. Un esempio è dato dalla famosa superficie del Dini:
La cui parametrizzazione è data da:
x=cos s sin t, y=sin s sin t, z=cos t +log(tan(2t/3))+0,2s
il parametro t varia nell’intervallo (0, 3p/4) e s in (0, n2p) dove n è il numero di giri.

Superfici algebriche

Le superfici algebriche sono superfici i cui punti hanno coordinate che sono soluzione di una equazione algebrica e cioè sono gli zeri di un polinomio. Esempio semplice è la sfera di raggio R che ha per equazione x2+y2+z2-R2=0 o il cilindro x2+y2- R2=0. L’equazione xyz=0 sarà l’unione dei tre piani, x=0, y=0, z=0 che contengono gli assi coordinati, quindi, malgrado la semplicità e regolarità dell’equazione, la superficie presenta delle singolarità lungo tutti gli assi coordinati.

(x2+y2)3=4x2y2(z2+1) è l’equazione della superficie nota come Eistute (cioè cono-gelato) che si ritrova nell’abito della figura.

Le superfici algebriche sono infinite, con una varietà di forme spettacolari, (molti siti mostrano gallerie di superfici algebriche segnaliamo e.g. bildergalerie), sarebbe un lavoro di biologo riuscire ad abbinare ad ogni abito di Capucci una superficie algebrica, il lettore potrà divertirsi a cercare per esempio l’equazione del vestito:

I Fibrati.

Il piano tangente in un punto è il piano che approssima meglio la superficie in quel punto, se la superficie è regolare allora, in ogni suo punto, il piano tangente è ben definito, l’insieme di questi piani forma il fibrato tangente. L’importanza del piano tangente è da attribuire alla necessità di avere a disposizione uno spazio lineare “il piano” dove potere compiere le operazioni di differenziazione e quindi di calcolo infinitesimale.

Il fibrato tangente risulta difficile da visualizzare proprio per il fatto di essere costituito da infiniti piani che si intersecano infinite volte, una splendida intuizione si può avere guardando, o anche meglio indossando, uno di questi abiti

Foliazioni.

Il concetto di foliazioni in matematica ha una definizione complessa che esula dall’ambito di questa esposizione. Tuttavia, semplificando, una foliazione è una varietà che localmente si può scomporre come l’unione di sottovarietà parallele di dimensione inferiore. I fogli di un libro formano una foliazione come questo abito:

Conclusione.

Alcuni storici dell’arte, nel descrivere la perfezione artistica delle statue greche di Fidia o di Polykleitos, per capire fino in fondo i dipinti di Piero della Francesca, per spiegare il fascino della Gioconda, hanno voluto vedere in questi capolavori un uso consapevole da parte degli artisti di strumenti matematici quali per esempio la proporzione aurea. Gli stessi artisti e filosofi, nel rinascimento, erano persuasi che la matematica era la vera essenza del mondo fisico e che l’intero universo incluso le arti potessero essere spiegate dal punto di visto geometrico.

Roberto Capucci, nella sua formazione non ha mai studiato la matematica o la geometria che sono presenti nei suoi abiti; nella sua vita non si è mai imbattuto in concetti quali i fibrati tangenti o fibrati vettoriali, non ha mai saputo la definizione di curvatura, non conosce il teorema egregium o la superficie del Dini. Ha affermato non aver mai capito le lezioni di matematica del liceo. Tuttavia, nel primo incontro avuto con lui in occasione di questo studio, il maestro di fronte a una tavola di superfici algebriche si è esclamato “ma questi sono i miei vestiti!”. Confermando, se fosse necessario, la corrispondenza tra gli oggetti matematici costruiti con rigore dai geometri, e le sue creazioni.

La matematica presente negli abiti di Capucci è molto più complessa della proporzione aurea, l’uso di questa matematica è del tutto inconsapevole. Pongo a questo punto la seguente domanda:

i concetti matematici esistono come esistono i colori, i suoni, gli odori e in quanto tali sono usati, visti, intuiti anche da chi non conosce la matematica oppure sono una invenzione dell’uomo e dunque la convergenza delle intuizioni proviene dal fatto che il creatore artistico e il creatore matematico arrivano agli stessi concetti perché stanno rispondendo alle stesse esigenze e usano la stessa creatività?

E ancora: il valore artistico di un opera è amplificato, o addirittura dovuto, all’uso di idee matematiche (“il linguaggio in cui è scritto l’universo” secondo Galilei) o l’uso della matematica è solo uno dei tanti strumenti che l’artista usa, consapevolmente o meno, per comunicare?

Queste domande non troveranno risposta qui ma forse, potremmo porci un problema molto più elementare, ma di una certa utilità. Se una persona che ha un senso così sviluppato della geometria come Capucci, non ha mai intuito nel suo percorso scolastico, che la geometria gli era così naturalmente consona, non potrebbe essere che il modo in cui la matematica viene studiata a scuola non è il modo più giusto, per lo meno per alcuni studenti?

di Isabeau Birindelli

Isabeau Birindelli è professore straordinario di Analisi Matematica presso la Facoltà di Architettura dell'Università di Roma "La Sapienza". Ha ottenuto un Ph.D in Matematica presso il Courant Institute nel 1992. I suoi interessi scientifici sono rivolti allo studio delle equazioni alle derivate parziali ellittiche.