Una “tavola periodica” delle forme racconta gli universi immaginari

On March 15, 2011

Un gruppo di matematici sta cercando di fare nel campo della geometria quello che la tavola periodica degli elementi ha fatto nel campo della chimica, elencando le forme in 3, 4 e 5 dimensioni che non possono essere decomposte in forme più semplici: in altre parole, gli "atomi" della geometria...

 

di Alessio Corti

 

La tavola periodica è uno degli strumenti fondamentali della scienza chimica. Organizza l'elenco degli atomi di cui tutta la materia è costituita e ne spiega le proprietà chimiche. Il lavoro che ho cominciato con il mio gruppo del Dipartimento di Matematica dell’Imperial College di Londra ha l’obiettivo di creare uno strumento in qualche modo simile per le forme in 3, 4 e 5 dimensioni: realizzare cioè un elenco di tutte le forme indecomponibili e codificarne le proprietà in termini di dati relativamente semplici.
Come fa notare Tom Coates, uno dei membri del mio team, «molti sono a loro agio con l’idea di forme a 3 dimensioni, ma per coloro che non lavorano nel nostro campo potrebbe essere difficile immaginare forme a 4 o 5 dimensioni. Tuttavia, comprendere meglio questi oggetti è importante in vari settori di ricerca scientifica». Ci aspettiamo di trovare forse fino a un milione di forme indecomponibili in 4 dimensioni: probabilmente non potrete appendere un poster della tavola nella vostra stanza, ma ci attendiamo che sarà comunque uno strumento molto utile per i matematici, e interessante anche per i non addetti ai lavori.

La teoria iniziata dal matematico giapponese Mori negli anni Ottanta consente di decomporre le forme definite da equazioni algebriche in forme più semplici fino a raggiungere alcune forme basilari, le forme indecomponibili, che sono dette varietà di Fano. E’ noto che esistono 105 varietà di Fano in 3 dimensioni: l’obiettivo di questa ricerca è elencare le varietà di Fano in 4 e 5 dimensioni.
Il progetto di ricerca, frutto della collaborazione di matematici in Australia, Regno Unito, Russia e Giappone, è finanziato dall’EPSRC, il Leverhulme Trust, la Royal Society e l'ERC.
In questo lavoro useremo metodi della teoria delle stringhe, un modello che tenta di riconciliare le forze fondamentali della natura. La teoria delle stringhe postula, oltre alle note 4 dimensioni (tre coordinate spaziali più il tempo), l'esistenza di dimensioni addizionali, che occupano una forma di dimensione così piccola che non lascia traccia nell'esperienza quotidiana ed è impossibile da rilevare con gli strumenti di misura odierni. Il nostro gruppo utilizzerà gli strumenti della teoria delle stringhe per esaminare universi immaginari dove queste dimensioni addizionali occupano una delle forme che desideriamo studiare. Quello che stiamo facendo non è compilare un semplice elenco: stiamo classificando famiglie di forme con proprietà simili, nel senso che conducono a universi immaginari con proprietà fisiche simili.
L'elenco delle forme indecomponibili sarà utile alla matematica, certamente, ma anche alla teoria delle stringhe, fornendo possibili geometrie per le dimensioni addizionali. Ci potranno poi essere anche applicazioni più concrete, per esempio alla robotica.

 

 

 

L'animazione qui sopra mostra alcune sezioni della varietà di Fano V_2 vista da diversi angoli. Pensando alla quarta dimensione come il tempo, lo spazio tridimensionale curvo diventa una famiglia di superfici che cambiano nel tempo. Altre animazioni, e maggiori dettagli, si trovano qui.

Per comunicare usiamo un blog (http://coates.ma.ic.ac.uk/fanosearch), che ospita, oltre alle animazioni anche molte immagini, e Twitter: in questo modo tutti possono seguire gli sviluppi del progetto in tempo reale.

 

Alessio Corti è titolare di una cattedra di Matematica Pura all’Imperial College di Londra. I suoi argomenti d’interesse riguardano principalmente la geometria algebrica, la teoria dei modelli minimali e le varietà di Fano.

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