Un modello per simulare numericamente le valanghe di neve

On January 8, 2013

In questo articolo ci interessiamo alle valanghe di neve e alla loro modellizzazione matematica. Negli ultimi anni ci sono stati molti lavori che hanno riguardato lo studio delle valanghe di neve, la loro formazione e flusso. Le valanghe sono molto difficili da modellizzare nel loro insieme, per la complessità dei fenomeni fisici considerati, dovuti ai diversi parametri che reggono il flusso: le varie cause scatenanti, lo stato della neve la topografia della zona geografica, la frizione sul suolo, che contiene anche l'influenza dei vari tipi di rugosità (suoli erbosi, pietre o sassi, foreste, ecc...). Inoltre, questa complessità è rafforzata dalla grande variabilità di queste caratteristiche sullo stesso sito.

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di Céline Acary-Robert, Denys Dutykh, Marguerite Gisclon

Introduzione. Le valanghe, le colate di fango, ma anche gli scivolamenti del terreno, sono fenomeni naturali che si producono spesso nelle zone di montagna. Sono ben conosciuti e addirittura considerati abituali dagli abitanti delle regioni alpine, dell'Himalaya o delle Montagne Rocciose. Questi eventi, rivelatisi mortali in molte situazioni, sono l'oggetto di studi motivati dal rischio che comportano per gli abitanti e i fabbricati. In realtà, lo sviluppo dell'abitato e del turismo nelle zone di montagna richiede un livello di sicurezza sufficiente. Degli impianti chiamati "paravalanghe", sono stati progettati e posti nelle zone di inizio dei fenomeni e si sono rivelati efficaci, come si è visto sulle Alpi nel 1999.
Che cos'è una valanga di neve? Una valanga è una massa di neve e di ghiaccio che si stacca bruscamente dal fianco di una montagna, percorrendone il pendio a tutta velocità, provocando uno spostamento brusco dell'aria -- il vento di valanga -- e trasportando con sé terra, rocce e detriti vari. Questo fenomeno è dovuto alle trasformazioni del mantello nevoso che non smette mai di evolvere, in montagna, sotto l'effetto di fattori meccanici e fisici, per cui le condizioni metereologiche esercitano un ruolo di primo piano: così questa copertura di neve sovrappone strati di diversa consistenza, formando altrettanti strati più o meno stabili gli uni rispetto agli altri. E' dall'instabilità reciproca di questi strati, favorita da fasi di rialzo della temperatura e di vento forte, che nascono le valanghe.

Valanga di neve polverosa (©Terra Nova)

Tuttavia, nel 1999, varie valanghe di neve hanno superato le barriere in cemento, mostrando la necessità di continuare gli studi su questi fenomeni. In effetti, la fisica della formazione di questi rapidi movimenti di scivolamento della neve, così come la dinamica del loro flusso su pendii più o meno forti, sono ancora oggi l'oggetto di numerosi studi. In pratica, la costruzione di opere di prevenzione è fatta in parallelo con studi di tipo matematico e fisico.


Impatto di una valanga su di una struttura di protezione

In questo articolo ci interessiamo alle valanghe di neve e alla loro modellizzazione matematica. Negli ultimi anni ci sono stati molti lavori che hanno riguardato lo studio delle valanghe di neve, la loro formazione e flusso. Le valanghe sono molto difficili da modellizzare nel loro insieme, per la complessità dei fenomeni fisici considerati, dovuti ai diversi parametri che reggono il flusso: le varie cause scatenanti, lo stato della neve, la topografia della zona geografica, la frizione sul suolo, che contiene anche l'influenza dei vari tipi di rugosità (suoli erbosi, pietre o sassi, foreste, ecc...). Inoltre, questa complessità è rafforzata dalla grande variabilità di queste caratteristiche sullo stesso sito.

Studi sulle valanghe: approcci diversi e svariati. Le metodologie impiegate per realizzare questi studi sono molto varie. Si va dagli studi in situ, grazie alla realizzazione, per esempio, di siti artificiali di innesco, agli studi fisici di rappresentazione su scala ridotta. Vedremo anche che un'altro modo di attaccare il problema è la modellistica matematica. Si tratta in questo caso di scrivere un sistema di equazioni che descriva il comportamente del fenomeno nel corso del tempo. I siti di innesco artificiale sono dotati di sensori di velocità, temperatura e pressione, lungo il tragitto previsto della valanga. Possiamo per esempio citare il sito del colle di Lautaret, gestito dal Cemagref di Grenoble (di cui si può trovare una descrizione completa qui). La valanga si innesca grazie a un dispositivo artificiale per innescare il flusso. I sensori registrano alcuni dati caratteristici (temperatura, velocità, ecc...) che in seguito sono trattati e utilizzati. Anche se forniscono solo delle indicazioni parziali, questi dati permettono ai ricercatori di avere delle indicazioni sulle quantità fisiche, ossia su avvenimenti di ampiezza reale. Si possono per esempio registrare le velocità raggiunte dalla neve durante il flusso o ancora all'altezza del pennacchio in varie zone. Si è per esempio stabilito che certi fronti di valanga si spostano a velocità superiori ai 100 metri al secondo.


Situazione dei corridoi utilizzati per i lanci
di innesco sul sito del Lautaret.

Un altro modo di considerare questo tipo di fenomeni è costruire un plastico in scala ridotta per fare un esperimento di scorrimento di un fluido lungo un canale, come lo scorrimento di un fluido di densità maggiore immerso nell'acqua. Può trattarsi anche di neve artificiale, o un altro fluido, nell'aria. In questo modo, si possono ottenere delle quantità fisiche come la velocità o la pressione. Bisogna tuttavia osservare che i fattori di scala sono molto difficili da rispettare in questo tipo di esperimenti. Dei plastici (o modelli ridotti) di questo genere sono descritti nelle pagine de l' ANENA.

Ecco per esempio due immagini di esperimenti di simulazione di valanghe polverose, dette in bacino sommerso, realizzate presso il Cemagref di Grenoble. Si tratta di particelle solide nell'acqua.

Lavori di P. Beghin. Foto: Mikael Primusdel.

E la matematica, in tutto questo? Un tentativo è stato quello di considerare le valanghe dal punto di vista statistico. Alcuni ricercatori hanno provato a determinare delle leggi statistiche, una volta entrati in possesso di una quantità sufficiente di dati. Si possono citare in questa direzione i lavori pionieristici dei due americani Bovis e Mears, a metà degli anni '70, che hanno proposto un primo modello che permetteva di calcolare la distanza di arresto della valanga, conoscendo qualche caratteristica topografica. La distanza d'arresto è la distanza massima percorsa dalla neve in occasione di una valanga e interessa molto i responsabili della gestione del territorio. In modo alternativo, si può costruire un modello matematico che permetta di fare delle predizioni, i cui parametri siano eventualmente determinati in base agli esperimenti. La risoluzione numerica di questo modello darebbe allora una via supplementare di accesso alla comprensione di questi fenomeno. Nel seguito presentiamo in dettaglio questo secondo approccio.

Alcuni modelli matematici delle valanghe di neve. Questa parte è largamente ispirata alla rassegna storica e scientifica degli studi di diversi tipi di valanghe nel libro di C. Ancey et al. [A2006].

Valanghe in colata (o dense). Queste valanghe sono caratterizzate da una debole altitudine e scorrono lungo il pendio. La variabilità delle caratteristiche geografiche e dinamiche resta tuttavia molto importante. I lavori di modellistica delle valanghe dense cominciano con gli studi di Mougin [M1922], che ha sviluppato il primo modello di valanga nel 1922, in analogia con un blocco che scivola in discesa. In seguito, negli anni '50 si cominciò a considerare l'analogia tra lo scorrimento di una valanga e il flusso turbolento dell'acqua. Questi primi modelli erano semplificati rispetto al modello completo di scorrimento di un fluido. Certi elementi restano poco chiari e ancora oggi sono oggetto di ricerche specifiche, come per esempio la considerazione dell'attrito delle particelle di neve sul suolo. Inoltre, ogni tipo di fluido ha un suo modo particolare di scorrere. Per esempio, l'olio non fluisce lungo una superficie in discesa nello stesso modo dell'acqua. Questo modo di comportarsi viene detto ''legge di comportamento''. La neve può presentarsi sotto diverse forme (bagnata o meno, in particelle più o meno fini, in strati più o meno marcati), per cui adotta delle leggi di comportamento abbastanza diverse tra loro, che non sono ancora ben capite. Si possono citare per esempio le leggi di comportamento del tipo "a soglia": la neve è poggiata al suolo dall'inizio e comincia a scorrere lungo il pendio dopo un cambiamento delle forze applicate (l'influenza del vento, per esempio). Così, a seconda del valore delle forze applicate sul mantello nevoso, si possono osservare comportamenti diversi. Queste considerazioni sottolineano la necessità di una collaborazione tra matematici e fisici.

Valanghe nubiformi. Queste valanghe sono meno frequenti di quelle dense, ma non sono tuttavia un fenomeno raro, e hanno una potenza distruttrice non trascurabile. Sono capaci di percorrere grandi distance a velocità molto elevata e sono caratterizzate dalla presenza di un nucleo denso circondato da una nuvola di particelle in sospensione, con un minore densità. I primi modelli di valanghe nubiformi sono dovuti a Kulikovskiy e Sveshnikova, completati poi da Beghin negli anni '80. Nel primo modello, l'aerosol è trattato come una nuvola di forma semi-ellittica il cui volume varia nel tempo. Delle equazioni di conservazione della massa guidano l'evoluzione della nuvola nel corso del tempo, come per esempio la conservazione della massa o del volume. Beghin ha ulteriormente semplificato questo modello facendo dei confronti con gli esperimenti. Osserviamo che questo modello, migliorato in seguito da Ancey, è ancora usato al giorno d'oggi.

Possiamo anche citare un approccio più vicino alla meccanica dei solidi, che rappresenta le particelle di neve come un materiale granulare che fluisce nell'aria, ossia come dei grani di sabbia [ 8]. Come possiamo vedere nelle immagini qui sotto, alcuni esperimenti sono stati fatti mettendo al posto della neve delle palline da ping-pong. Lo scorrimento delle palline lungo una pedana inclinata, riproduce il pennacchio della valanga!


Esperimento di valanga con palline da ping-pong. J. McElwaine. K. Nishimura.

Come già detto prima, la modellistica delle valanghe di neve si è molto ispirata ai lavori fatti in meccanica dei fluidi e in particolare per i modelli di fluidi turbolenti. Per le valanghe nubiformi, questo equivale a tenere conto del movimento delle particelle di neve in sospensione in un flusso turbolento[ 9]. Infine, un modo di rappresentare questo tipo di flussi di neve è di considerare una miscela neve-aria come se fosse un fluido bifasico: una fase liquida (neve) e una gassosa (aria) [ 10]. Ecco due video di valanghe nubiformi. Si può vedere nelle immagini l'altezza che può raggiungere il pennacchio così come la velocità del fronte.

Nel secondo video, l'innesco è provocato artificialmente da un colpo di cannone. Si può osservare il tempo che ci mette la valanga a percorrere una distanza abbastanza grande.

La simulazione numerica: cosa aggiunge il computer? La simulazione numerica si basa sullo studio matematico di un sistema di equazioni che rappresentano un fenomeno fisico. Il sistema di equazioni ha potuto essere stabilito grazie ad una collaborazione tra matematici e fisici, o direttamente dai fisici. Questo modello è tradotto in seguito in un programma informatico che permette di realizzare esperimenti numerici, grazie alla risoluzione di queste equazioni. Questa risoluzione si fa su di una griglia di punti, e si chiama soluzione discreta (non possiamo mai avere una soluzione esatta, ma soltanto un'approssimazione sui punti della griglia numerica).

Questo sistema di equazioni discrete non dipende direttamente dall'esperimento scelto. Ogni esperimento numerico è definito a partire dalle dimensioni scelte e dalle caratteristiche della neve. È dunque abbastanza semplice effettuare nuovi esperimenti. Il sistema di equazioni è quindi risolto nella configurazione prescelta. Questo ci permette di avere l'insieme dei valori delle variabili del sistema, come la velocità, la pressione, la densità o la temperatura in tutti i punti della griglia. Questo semplifica l'accesso a delle variabili che sono a volte difficili da misurare e su molti più punti. Tuttavia, si tratta di un'approssimazione e non rappresenta completamente la realtà che si trova in natura. Si tratta solo di una rappresentazione.

Esempi di risultati numerici di scorrimento di una valanga ad aerosol. In queste esperienze numeriche, simuliamo un esperimento di laboratorio in una scatola (chiusa o aperta), in scala ridotta (dell'ordine di uno o due metri). Si tratta dello scorrimento di un fluido più pesante (più denso) in un fluido più leggero (per esempio dell'acqua salata nell'acqua limpida). Per questo tipo di miscele abbiamo un modello che è costituito principalmente da un'equazione di conservazione della massa nel tempo e da un'equazione di conservazione della quantità di moto(ossia che controlla la velocità).

Ci proponiamo di spiegare in dettaglio l'equazione di conservazione della massa, considerando i diversi termini. Si consideri un volumetto di miscela di acqua salata/acqua dolce oppure aria/neve. Questo volumetto si sposta nel corso del tempo e scambia materia con i volumetti vicini. La massa di questo volume cambia dunque in funzione del tempo. L'equazione di conservazione della massa contiene dunque un termine che rappresenta le variazioni rispettto al tempo attraverso una una derivata. Questo volume elementare è trasportato dal fluido circostante: questo trasporto indotto è rappresentato da un termine specifico che dipende dalla velocità. Infine, gli scambi di massa sono descritti da un termine che rappresenta la diffusione di una specie in un'altra [ 11]. Le equazioni di scorrimento sono state discretizzate in un dominio rettangolare con un deposito iniziale di neve, utilizzando il software OpenFOAM, e vengono rappresentate in 2 dimensioni. Le simulazioni sono presentate orizzontalmente, ma corrispondono in realtà a una pendenza del 30%. Nel primo video, la scatola è un dominio chiuso, e il flusso sbatte contro le pareti quando queste sono raggiunte. Si osserva bene qui sotto lo sviluppo delle instabilità nella parte posteriore del fronte.

In un secondo esempio, le pareti sono aperte nella parte superiore. Solo la parete di destra è chiusa, e rappresenta un ostacolo da oltrepassare. Si può vedere lo sviluppo del fronte della valanga così come lo sviluppo d'instabilità sul retro del fronte.

Conclusioni Le valanghe di neve sono un fenomeno naturale complesso per la natura stessa del fenomeno e per la diversità degli eventi osservati. Poiché le regioni di montagna sono sempre più sfruttate, questi eventi rappresentano un rischio sempre più importante per la società. Abbiamo visto che lo studio delle valanghe pone ancora molti problemi, sia da un punto di vista fisico che teorico. Elementi di risposta possono essere forniti dalla complementarità dell'approccio sperimentale da una parte, che fornisce alcune quantità fisiche, e dall'altra dall'approccio matematico, che permette di elaborare teorie e proporre dei modelli. La simulazione numerica permette infine una rappresentazione che può essere confrontata con gli esperimenti fisici.

Riferimenti bibliografici

  • [A2006] Ancey, C., Bain, V., Bardou, E., Borrel, G., Burnet, R., Jarry, F., Kolbl, O.,(2006). Dynamique des avalanches. Presses polytechniques et universitaires romandes (Lausanne, Suisse).
  • [D2011] Dutykh, D., Acary-Robert, C., & Bresch, D. (2011). Mathematical modeling of powder-snow avalanche flows. Studies in Applied Mathematics, 127(1), 38—66.
  • [E2004] Etienne, J., Saramito, P., & Hopfinger, E. J. (2004). Numerical simulations of dense clouds on steep slopes : application to powder-snow avalanches. Annals of Glaciology, 38, 379—383.
  • [M1922] Mougin, P. (1922). Etudes glaciologiques : Les avalanches en Savoie, T. 4. (P. Ministère de l’Agriculture, Direction Générale des Eaux et Forêts, Service des Grandes Forces Hydrauliques, Ed.). Paris : Imprimerie Nationale.
  • [N1995] Naaim, M. (1995). Numerical model of powder snow avalanche. Theoretical analysis and application. In ANENA (Ed.), Comptes Rendus « Les apports de la recherche scientifique à la securité neige, glace et avalanche » (p. 31—36). Chamonix.

Affiliazioni degli autori: Denys DutykhCéline Acary-RobertMarguerite Gisclon : LAMA, UMR CNRS 5127, Université de Savoie, 73376 Le Bourget-du-Lac Cedex, France.
Traduzione di Roberto Natalini da "Céline Acary-RobertDenys Dutykh et Marguerite Gisclon«Une approche pour simuler des avalanches de neige » Images des Mathématiques, CNRS, 2011.

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