Ripetizioni. Puntata 8: "Pane"

On November 17, 2016

Perché hai del pane sulla scrivania? Non ti sembrava già piuttosto disordinata?

Hai ragione, mi ero ripromesso di sistemare, ma sono stato al Festival della Scienza, a Genova…

Conosco, in classe abbiamo fatto troppo macello, altrimenti il prof ci avrebbe portato, ma comunque che c’entra il pane?

Me l’ha dato un tipo che ho conosciuto, un certo Daniele, nel suo laboratorio di matematica e storia.

Ah sì?

Sì, matematica al tempo degli Egizi, se vuoi te ne parlo.

Ok, in fondo le piramidi le ho fatte già a geometria!

Ma no! Non è quello l’interessante, parliamo di cose più pratiche, numeri e pani. Cominciamo da questo: avevano solo pochi simboli per i numeri, ti faccio vedere l’uno e il dieci, per cominciare

1-10

Ah vabbè, erano come i Romani quindi, ma senza un simbolo per il cinque. Scommetto che il numero 2 si fa scrivendo

2

l’undici

11

e il nove come “dieci meno uno”, così

11-1

Quasi! Più facile, per loro quei simboli non erano cifre, erano quantità, quindi il due si fa con due barrette, il tre con tre barrette… il nove semplicemente con nove barrette…

Be’, comodo [sarcastico], immagino scrivere 99!

99

Già, ma almeno potevi mettere i simboli nell’ordine che volevi, senza cambiare il numero. Questi due

11-11

rappresentano sempre “una decina” e “un’unità”, quindi sono entrambi 11.

Ah, chiaro, notazione non posizionale, l’abbiamo fatto alle elementari; per noi invece 213 e 312 sono diversi, anche se hanno gli stessi simboli. Vabbè, ma il pane che c’entra?

Pazienta! Ti spiego un altro simbolo importante. Gli Egizi conoscevano le frazioni e usavano questo per indicare “una parte di qualcosa”

frac

una bocca. Ad esempio, per dire “un terzo” scrivevano così

terzo

per “un tredicesimo” così

tredicesimo

Praticamente una bocca, poi il numero sotto, facile! E il pane?

Arriva arriva! Risolvi questo: 10 persone tornano da una giornata di lavoro e per pagarli ci sono solo 9 pagnotte. Quanto pane va a testa?

[Sarcastico] Difficile… nove pani, dieci uomini… 9/10.

Bravo, in egizio si scrive?

Eh, boh… nove bocche e sotto il dieci? Non lo so, mi hai detto solo come scrivevano le frazioni con l’uno sopra, al numeratore: 1/3, 1/4… Tutte le altre come si fanno?

Be’… semplicemente… non si fanno, perché non le conoscevano.

Ma non ha senso!

E invece sì, loro usavano le frazioni per dividersi il pane, considera che quello di prima era un problema tradotto da un papiro. Capivano solo il concetto di “un pezzo di pane diviso in tante parti”, ossia le frazioni con numeratore 1, frazioni unitarie.

Sì, ok, ma così non si può risolvere il problema, se fa 9/10 fa 9/10!

Loro avrebbero scritto il risultato come somma di frazioni unitarie.

Pensa te! Tipo \frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\ldots +\frac{1}{10}, nove volte?

Ti piacerebbe! Volevano che fossero tutte frazioni unitarie diverse. Ad esempio
 \frac{9}{10} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}

Seeee! Non mi va di fare il conto, mi fido. Ma perché così complicato?

Prima ti faccio un altro esempio, poi te lo spiego: 7/10 sarebbe stato
 \frac{7}{10} = \frac{1}{2}+\frac{1}{5}
Il motivo te l’ho già detto in realtà: il pane!

Cosa?

Il pane! Loro usavano le frazioni per dividersi il pane! Guarda, disegno i nove pani

9pani

Come li divideresti fra 10 persone? Di certo non puoi lasciare qualcuno senza niente, è la loro paga!

Mmm… potrei dividere ogni pagnotta in 10 parti, e consegnarne 9 parti a ognuno, così sarebbero 9/10 a testa.

Funziona, ma immagina le briciole! Così non piaceva agli Egizi, avevano un modo più efficace. Pensa! Cogita!

Mmm… quanto la fai complicata. Anzi, quanto la facevano complicata! Comunque, potrei tagliare un pezzetto grosso un decimo da ogni pagnotta. Cosi alla fine avrei 9 pani senza un pezzo e un ultimo, grande uguale, fatto dai 9 pezzetti avanzati.

Furbo! Solo che, immagina di essere quel povero lavoratore che si trova con 9 pezzetti quando gli altri intorno a lui hanno una pagnotta quasi intera. Ci sta che potrebbe stranirsi!

Eh, ma a chi tocca tocca.

No, c’è un modo più equo, te lo mostro con 7 pagnotte che facciamo prima!

7pani

Invece di dividere ognuna in 10 parti, cominciamo a dividerle a metà e darne un pezzo a testa.

Metà al primo, metà al secondo. La seconda pagnotta metà al terzo, metà al quarto… così via. Però ne avanzano due.

Ognuno ha ricevuto mezza pagnotta, ma sì, ne avanzano due, come le dividiamo per 10?

Ognuna divisa in 5 parti! Così ciascun lavoratore riceve alla fine due pezzi di pane, uno grande e uno piccolo.

Esatto! Due pezzi di pane, uno grande “un mezzo”, uno grande “un quinto”. Senza calcolarlo, abbiamo scritto proprio
 \frac{7}{10} = \frac{1}{2}+\frac{1}{5}

Capito! Erano furbi parecchio!

Visto? A livello teorico è complicato, ma 4000 anni fa non gli interessava più di tanto la teoria, erano decisamente pratici, e quello gli bastava!

E scommetto che il problema con 9 pani sia la stessa cosa, giusto con un passo in più. Ci potrei provare. Forse.

 

Nota: il laboratorio non l’ho inventato, e Daniele esiste davvero. Naturalmente trattava di più tematiche e in maniera più completa, qui ho riportato solo una parte. Quindi ringrazio sia Daniele Zec che il Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova, che hanno organizzato “La Matematica dei Geroglifici”, e metto qui un link alla pagina del Festival.

Davide Palmigiani

3 Comments

  1. gialloporpora

    01/12/2016 at 16:39

    Simpatica questa cosa, non la conoscevo, grazie.
    Ho una domanda, magari è una banalità, ma non conoscendo l'argomento mi viene un dubbio.
    Prendendo come spunto l'esempio dei pani da dividere, supponiamo di avere 13 persone e solo 5 pezzi di pane.
    A livello pratico è semplice: io do un terzo a tutti e poi mi rimangono 2/3 di una pagnotta che divido in 13 parti uguali e ho minimizzato il numero di tagli da fare e di conseguenza il numero di pane sprecato.
    Però se faccio l'espansione a me (probabilmente c'è un'espansione più semplice) viene:
    1/3 + 1/26 + 1/78
    Andando in modo empirico e non conoscendo la formula io ho scritto 1/3 + (1/2 + 1/6)*1/13, che a naso mi sembra il modo più facile per arrivare al risultato.
    che rapportandola all'esempio della spartizione del pane è un po' più complicato da farsi.
    Quindi la mia domanda è: in casi simili, esisteva un modo per dire una frazione del rimanente o lo scrivevano proprio come 1/3 + 1/26 + 1/78?
    O c'è un modo più intelligente per scrivere 5/13 come somma di due anziché tre frazioni unitarie?

  2. Davide Palmigiani

    02/12/2016 at 11:10

    La risposta è: non ci sono un granché di esempi per rispondere in maniera storicamente attendibile e precisa. Quello che abbiamo a disposizione è un esiguo numero di papiri, che presentano un buon numero di esempi, ma tutto qui. La fortuna è stata quella di trovare il "Papiro di Rhind", il principale documento sulla matematica egizia, che è un eserciziario, contenente sia problemi che risoluzioni, dal quale abbiamo imparato anche gli algoritmi per le operazioni, problemi di geometria e... spartizioni di pani. Chiaramente però, gli esercizi su un eserciziario sono "scritti per essere risolti", quindi non ci sono conti complessissimi o "patologici".
    La risposta da uomo del 2016 comunque è: ci sono svariati modi per scrivere una frazione in somma di unitarie. Il modo più automatico, ma non più furbo, è quello di scegliere la frazione unitaria più grande minore del numero (per 5/13 è 1/3) e sottrarla (ottenendo nel tuo esempio 5/13 - 1/3 = 2/39). Ripartendo dal nuovo numero ottenuto ripetere il ragionamento fino ad ottenere il risultato (sempre l'esempio, 2/39 è più grande di 1/20, quindi in totale 5/13 = 1/3 + 1/20 + 1/780). Il tuo modo è sicuramente più pratico in questo caso.
    Quindi non so se avevano un modo per scrivere "del rimanente prendi una frazione di..."; il concetto c'era comunque, quindi se dovessi scommettere direi sì (opinione personale)

    Ultima chicca, avevano un modo per scrivere 2/3 e 3/4 (erano le loro uniche frazioni non unitarie).

  3. gialloporpora

    02/12/2016 at 20:35

    Grazie mille Davide per la spiegazione, immaginavo ci fossero più “scritture” possibili.
    Davvero un bel articolo, ancora complimenti 🙂

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