Ripetizioni. Puntata 18: "Hex"

On October 5, 2017

Il mese scorso ti ho lasciato che sistemavi giochi da tavolo…ancora non hai finito?

Sì, sì, ho finito, solo che ne ho tirato fuori un altro. Guarda, scommetto che non lo conosci.

Veramente dovrei studiare… e te dovresti seguirmi, ma vabbè. Comunque no, non lo conosco, che gioco è?

È un gioco famoso fra i matematici… o almeno credo.

Ah, se non lo sai tu!

Pensa che l’hanno inventato indipendentemente due matematici, e uno è Conway. Probabilmente ti ho già parlato di lui, o se non l’ho fatto, lo farò.

No, non ricordo…

Poco importa. Si gioca su una scacchiera esagonale, come questa, un giocatore ha i rossi, uno i blu.

Ah, Hex da esagono, che fantasia…

Due bordi opposti sono rossi, gli altri due blu. Ogni turno, alternandosi, i giocatori posizionano una pedina su un esagono libero…

Uno qualunque? Nessun’altra regola?

Sì, qualunque, basta che la casella sia libera. Vince il primo che riesce a fare un percorso continuo, anche se tortuoso, che congiunge i suoi due bordi della scacchiera.

Ah, facile, proviamo per vedere se ho capito. [Giocano]

Ho vinto io!

Ma come?!

Vedi, ho collegato i bordi rossi…

Sì, giusto. Cavolo! È difficile. Scommetto che ora mi spiegherai la strategia vincente o qualcosa del genere…

No, stavolta no, stavolta ti faccio una domanda. Sei sicuro che vinca sempre uno dei due giocatori?

Io però volevo la strategia vincente…comunque sì, che domanda è? Certo che uno dei due vince, non ci sono alternative.

E il pareggio?

Ah, già, il pareggio. Può succedere che nessuno dei due riesca a vincere quindi.

E invece no. Vince sicuramente qualcuno.

Come no? Ti piace prendermi in giro? Si può pareggiare o no? A me sembra di no, ma mi stai confondendo.

Non si può pareggiare, ossia c’è sempre un vincitore. Me lo sai dimostrare?

Dimostrare? Prima o poi uno arriva dall’altra parte, punto. Quello ha vinto. Che c’è da dimostrare?

Però con il Tris, che è un gioco più facile ma sempre dello stesso tipo, il pareggio esiste; perché qui no?

[Pensa molto]

Ci sono. Mettiamo che i bordi rossi siano le sponde di un fiume che scorre da un bordo blu all’altro. Le pedine blu sono acqua. Il giocatore rosso ha delle pietre e il suo scopo è costruire una diga che fermi l’acqua.
Le cose sono due, o riesce a fare un tratto che va da una sponda del fiume all’altra, o l’acqua troverà il modo di passare. Quindi o il percorso lo fa il rosso, ossia i sassi, o lo fa il blu, ossia l’acqua.

Wow, complimenti per l’idea, bravo! Questa si chiama idea intuitiva, e pure una bella idea intuitiva. Però, come spesso capita in matematica, le idee più facili da intuire possono risultare complicatissime da dimostrare con precisione.

Ma cosa ci manca nella mia?

Manca che non mi hai spiegato veramente il perché non è possibile che l’acqua arrivi dall’altra parte, nonostante il muro. Hai usato una metafora e il buonsenso, ma non mi hai dato una spiegazione rigorosa.

E come dovrei fare?

Solitamente, prima si cerca di rendere più precisa l’affermazione “uno dei due giocatori vince”. Potrebbe suonare più o meno così:
“Una volta che tutte le caselle dell’Hex sono piene di pedine rosse o blu, esisterà sicuramente un percorso che collega i due bordi rossi o uno che collega i due bordi blu…”

È sicuramente più pomposo.

E non ho finito:
“…esisterà sicuramente un percorso che collega i due bordi rossi o uno che collega i due bordi blu, ma non entrambi.”

Ma non entrambi? Devi davvero mostrarlo?

Andrebbe mostrato sì, ma ci interessa relativamente, fai finta che non l’abbia detto.

Va bene, come si dimostra allora?

Prima si riempie ogni casella con le pedine, come dopo una lunghissima partita.
Si considera la griglia (per fare il pignolo dovrei dire grafo, ma lasciamo stare) formata dai lati delle caselle, con aggiunti 4 punti, A, B, C, D, così…

A partire da questo grafo…

Griglia.

A partire da questa griglia costruiamo un percorso che comincia dal punto A.
Prima di tutto, A ha il bordo iniziale blu a destra, il bordo iniziale rosso a sinistra.
Si comincia a percorrere la griglia procedendo sempre lungo i lati che sono in comune fra un esagono rosso e uno blu.

Facile, provo.

Alla fine si arriverà ad uno dei punti B, C o D.

Sì, sono arrivato a B infatti.

Ognuno di quei punti tocca almeno uno dei due bordi finali, se ci fai caso.

Sì, B tocca il bordo finale blu.

E allora sicuramente il blu ha vinto.

Lo vedo, ma come fai a dirlo?

Perché il percorso che hai tracciato sui lati degli esagoni parte da A, che tocca il bordo blu iniziale, e arriva a B, che tocca il bordo blu finale.

Sì…

Dato che l’hai tracciato sulle linee di confine fra rosso e blu, riuscirai sicuramente a trovare un tracciato di esagoni blu che congiunge in due bordi!

Giusto! Questo qui.

Ma la dimostrazione è più insidiosa…

Non è finita qui?

No, chi lo dice che il percorso che hai costruito a partire da A sia unico? Nel senso, chi ti dice che non possano esistere bivi prima di arrivare al traguardo?

Non so…

In realtà è facile, ma bisogna farci attenzione. Immagina di percorrere la tua strada fino a un certo punto. Quel punto toccherà tre esagoni…

…ah sì, certo, ho capito. Il punto tocca tre esagoni, ma io mi sto muovendo lungo il confine tra caselle blu e caselle rosse, quindi sicuramente avrò una sola direzione in cui andare, in base al colore del terzo esagono… in questo caso a destra.

Ma non è finita…chi ti dice che il percorso prima o poi finirà?

Be’, non ci sono mica infinite caselle, prima o poi arriverai…

Bravo, e chi ti dice che non tornerai mai sui tuoi passi a formare un ciclo, e che invece arriverai a uno fra B, C e D?

Be’…

Ragionaci, questo è l’ultimo passaggio, e non è così difficile.

Sì, sì, fammici pensare… certo che ve ne fate di problemi è…comunque interessante!

Davide Palmigiani

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

this site uses the awesome footnotes Plugin