Ripetizioni. Puntata 10: "Bottoni"

On January 13, 2017

Ciao! Hai imparato a contare in binario con gli esercizi dell’altra volta?

Esercizi? Quali esercizi?

Dai, abbiamo imparato a contare in binario con le mani, ricordi no?

Ah, sì sì, l’altra volta… mi sono un po’ esercitato. Avevi detto che sarebbe servito a qualcosa.

Sì, infatti ti insegno un gioco, si chiama Nim, lo conosci?

No.

Presente il Tris? L’idea è quella…

Il Tris non mi piace, è scemo. Dopo un po’ capisci la strategia e finisce sempre in pareggio.

È più complesso!

Vediamo.

Allora, serve qualcosa come dei bastoncini… va bene anche una pila di monete, o… ecco dei bottoni.

C’è tutto su questa scrivania…

Li dispongo così
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Comincia tu.

A fare che?

Prima scegli una riga, poi da quella riga togli almeno una moneta. Puoi anche toglierle tutte.

Ok, ad esempio potrei fare così
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Esatto, poi il turno passa a me. Potrei fare così, togliendo tutta la seconda riga
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Chiaro, qual è lo scopo del gioco?

Chi toglie l’ultimo bottone vince.

Ah… [riflette]… allora questa partita l’ho persa… tocca a me, tolgo la prima riga
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E così vinco io, ma sarebbe successo anche se avessi tolto l’altra.

Facciamo un’altra partita, comincia te.

[Giocano un’altra partita]

Ho vinto! Evvai, non è così complicato.

No, questa configurazione era semplice. Puoi partire da qualunque forma, ma il gioco tradizionale è fatto così
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Tosto!

Già, facciamo una partita, ti faccio vedere quanto è più complicato vincere se non sai la strategia migliore…

Be’, insegnamela!

No, prima giochiamo… [sghignazza]

[Giocano un’altra partita, chiaramente non vince Roberto]

Ti piace vincere facile? Spiega.

Va bene, va bene. Riprendiamo la prima configurazione, più semplice
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Per giocare “in maniera competitiva” a Nim bisogna saper contare in binario.

E più o meno lo so fare.

Per prima cosa va scritto, in binario, il numero di bottoni in ogni riga.

Allora,
prima riga un bottone, quindi 1;
seconda riga due bottoni, quindi 10 in binario (una “duina” e nessuna unità);
terza riga tre bottoni, quindi 11 (una “duina” e un’unità).
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Il secondo passo è imparare la Somma Nim, un’operazione facilissima fra numeri binari. Scrivo qui; si fa in colonna, ma con la regola seguente:
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Ah, una somma normale, tranne che 1+1 fa 0.

Esatto, comunque ho usato il segno “+” anche se non è una vera somma; per essere precisi, è un’addizione nel campo finito  \mathbb{F}_2 .

Va benissimo Somma Nim!

Certo certo. Calcola la somma Nim della partita che stiamo facendo va’!

Be’, prima le unità… 1+0+1 = 0… poi quello che manca è…
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Fa zero!

Già, quando la somma Nim è zero, si dice che il gioco è in una Posizione Sicura.
Tocca a me, tolgo tutta la seconda riga; quant’è ora la somma Nim?

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10, ovvero due.

Quando la somma Nim non è zero, il gioco è in una Posizione Insicura.

Quindi,
Posizione Sicura, Somma Nim  = 0 ;
Posizione Insicura, Somma Nim \neq 0
Che ci faccio?

La strategia del gioco: devi cercare di concludere il tuo turno in una posizione sicura. Ti faccio uno schema.
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Se c’è una Posizione Sicura, qualunque mossa porta il gioco in una Posizione Insicura…

Come nella prima partita.

Da una Posizione Insicura, invece, esiste sempre una mossa che porta il gioco in una Posizione Sicura. La bravura del giocatore è riuscire a trovare quella mossa.

Forse ho capito, partiamo da una Posizione Sicura.
GIOCATORE 1: Fa una mossa. Sicuramente la posizione diventa Insicura;
GIOCATORE 2: Pensa bene alla sua mossa. Sicuramente impegnandosi farà tornare il gioco in una Posizione Sicura;
GIOCATORE 1: Come prima, qualunque mossa che fa lo porta in una Posizione Insicura.

Bravo. Mossa dopo mossa i bottoni vengono tutti tolti, arrivando in maniera naturale alla fine del gioco. Se riesci a far finire i tuoi turni in una posizione sicura, vincerai.

Facciamo una partita. Comincia tu…

Ok, abbiamo detto che questa è una Posizione Sicura
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Tolgo un bottone dall’ultima riga
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Ora la posizione è Insicura, faccio il conto che non mi fido
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Devi trovare una mossa che faccia tornare in Posizione Sicura

[Pensa, poi esclama soddisfatto] Tolgo la prima riga! La somma Nim di due numeri uguali è zero!
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Bravo, allora io tolgo la seconda riga, finendo nuovamente in Posizione Insicura…
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Vabbè, ho vinto io, tolgo tutta la terza riga!

Sei pronto per la partita più grande, decidi chi comincia
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Allora, la somma Nim è…
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…zero! La posizione è Sicura… quindi… comincia tu!

Hai capito come funziona, grande! Altre due mosse e si torna a studiare però! Tolgo la prima riga
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Come fai a tornare in Posizione Sicura ora?

Cavolo, è difficile!

Suggerimento (se non ci arrivi a mente): somma due righe, ad esempio la prima e la seconda. Il risultato è 110, ovvero 6 in binario. Cerca di ottenere 6 dalla terza riga.

Ci sono sette bottoni in terza riga, ne tolgo uno. [Fa il conto] Funziona!
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Non è semplice, lo so, ma ci si riesce con un po’ di esperienza… ora abbiamo altro da fare, comunque allenati, che poi ti sfido di nuovo. E quando sarai più bravo giocheremo alla versione più difficile…

Ossia?

Chi toglie l’ultima moneta Perde!

Davide Palmigiani

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