Vedo una massa confusa

On January 29, 2014

di Michèle Audin

Professore presso l’Università di Strasburgo (sito)

Articolo apparso su Images des Mathématiques, qui nella traduzione di Elena Toscano)

Nel 1943, il matematico Jacques Hadamard (1865-1963) [1], allora settantottenne, si trovava negli Stati Uniti [2] dove tenne una serie di corsi sulla psicologia dell’invenzione in matematica i cui contenuti furono in seguito pubblicati, inizialmente in inglese (dall’Università di Princeton), poi nella traduzione francese (solo nel 1959) con il titolo di Saggio sulla psicologia dell’invenzione nel campo della matematica.

Jacques Hadamard, che era un ammiratore incondizionato dei lavori di Poincaré, diceva nella prefazione di essere stato inizialmente ispirato dalla celebre conferenza di Henri Poincaré tenuta presso la Società di psicologia di Parigi (si tratta de L’invenzione matematicaqui il podcast in lingua francese NdT). Jacques Hadamard, come molti altri matematici, era membro della Società francese di filosofia [3].

Una delle questioni che interessavano Hadamard era il ruolo delle parole nella creazione scientifica. Non credeva infatti che fossero indispensabili. Nel suo entourage le opinioni in merito a tale questione erano discordanti. Aveva interrogato, in effetti, molti suoi colleghi (tra i quali Birkhoff ed Einstein) e la maggior parte concordava sul fatto che il processo creativo fosse accompagnato da immagini vaghe.

L’esempio che egli stesso dava era quello del teorema che dice che:

 Esiste un numero infinito di numeri primi

Ragioniamo per assurdo supponendo che ne esistano solo un numero finito. Facendo il prodotto tra questi numeri primi troviamo un numero al quale sommiamo 1. Il risultato di tale operazione è un numero che non è divisibile per nessuno dei numeri di cui si è fatto il prodotto. Pertanto, deve avere un divisore che sia primo e che non fa parte del nostro insieme finito di numeri primi. Abbiamo trovato una contraddizione alla nostra ipotesi iniziale, dunque essa è falsa e pertanto l’insieme dei numeri primi non è finito.

Ciò che avete appena letto è un esempio molto semplice di dimostrazione per assurdo, senza dubbio la più semplice che ci sia: la si può spiegare più o meno a tutte le persone di buona volontà che sappiano cosa sia un numero primo. È una delle ragioni per cui Hadamard decise di descrivere ciò che “gli passava per la testa” quando dimostrava il teorema sull’infinità dei numeri primi.

«Vedo una massa confusa», diceva Hadamard, e poi:

Passi della dimostrazione

Mie immagini mentali

considero tutti i numeri primi

vedo una massa confusa

da 2 a 11, ossia 2, 3, 5, 7, 11

faccio il loro prodotto

essendo N un numero molto grande,

2×3×5×7×11=N

immagino un punto molto lontano;

di tale massa confusa

sommo 1 a tale prodotto,

vedo un secondo punto

ossia N+1.

un po’ più in là del primo.

Questo numero se non è primo, deve

Vedo un posto da qualche parte

ammettere un divisore primo,

tra la massa confusa e

che è il numero cercato.

il primo punto.

Il teorema dei numeri primi

Un’altra ragione per cui Hadamard ha scelto questo teorema per illustrare le sue immagini mentali è senza dubbio il fatto che la sua notorietà come matematico gli venne inizialmente (nel 1890) dalla sua dimostrazione di quello che è conosciuto come «il teorema dei numeri primi».

Si pone la seguente questione:

Vi è un numero infinito di numeri primi, l’abbiamo compreso. Ma come sono distribuiti? sono via via più frequenti, o più radi, o vicini gli uni agli altri?

Volendolo dire in modo meno informale: se si estrae a caso un numero tra gli n numeri interi, qual è la probabilità che questo sia un numero primo?

Per esempio:

  • se n = 3, tra 0, 1
, 2
e 3, solo 2
 e 3
 sono primi, la probabilità è dunque 2/4 = 1/2
  • si n = 100, vi sono 25
 numeri primi, dunque 25/101, un po’ meno di un 1/4,
  • si n = 1000, la probabilità è circa del 17%. Quando n
diventa via via più grande, questa proporzione come cresce?

Si tratta di un teorema molto complesso. Prevedendo di dedicare un articolo più lungo a questo teorema [4], qui non dirò altro.

NOTE

[1] Jacques Hadamard è stato uno degli ultimi matematici che ha potuto comprendere la totalità del sapere matematico dei suoi tempi. È l’autore di un’importante opera matematica - di cui uno dei gioielli è stato il teorema dei numeri primi - che contiene, per esempio, anche numerosi importanti risultati di geometria e di analisi funzionale. Jacques Hadamard, nato ai tempi delle diligenze, è morto ai tempi dello Sputnik e della conquista dello spazio, il 17 ottobre 1963, giusto 50 anni fa.

[2] Vi era andato per sfuggire alle leggi antisemite francesi.

[3] …il cui fondatore, Xavier Léon, era stato membro della Società matematica di Francia. Epoca felice…

[4] Se ne è in precedenza parlato nell’articolo al link seguente: http://images.math.cnrs.fr/Il-y-a-cent-quarante-ans-la-mort.html

Vai all'articolo originale: http://images.math.cnrs.fr/Je-vois-une-masse-confuse.html

One Comment

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