Nodi nell'acqua asciutta

On November 24, 2013

Traduzione di Elena Toscano dell'articolo "Des nœuds dans l’eau sèche" di Frédéric Le Roux (dell'Istituto di Matematica di Jussieu), apparso su Images des Mathématiques, la versione originale è disponibile qui.  

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di Frédéric Le Roux

Per fare un nodo nell’acqua, iniziate scegliendo un nodo, ad esempio il nodo a forma di trifoglio disegnato qui sotto.

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Nodo a forma di trifoglio

Poi realizzate il vostro nodo utilizzando una stampante 3D dandogli un profilo ad ala di aeroplano. In un primo momento mantenete quest’ala annodata ancora sotto l’acqua quindi spostatela bruscamente verso il basso.

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L’«aliscafo» a forma di nodo a trifoglio utilizzato nell’esperimento (Credit: Steve Koppes)

Sotto l’effetto di questo movimento improvviso le molecole di acqua che erano vicine al bordo esterno dell’ala si mettono in movimento e una debole turbolenza appare intorno a una curva che ha la forma del vostro nodo. Tutto questo risulterà probabilmente più chiaro grazie al video qui sotto.

Dopo un primo vortice prodotto in modo più “classico” si vede un secondo vortice creato a partire da un’ala circolare, poi un vortice a forma di nodo a trifoglio (circa 40 secondi dopo l’inizio). Per rendere evidente il movimento delle molecole di acqua delle minuscole bolle di gas sono state appese in precedenza all’ala annodata.

Il processo sperimentale che si vede nel video è stato recentemente messo a punto da due fisici dell’Università di Chicago, Dustin Kleckner et William T. M. Irvine, che hanno poi studiato l’evoluzione dei vortici annodati così creati. Poco tempo dopo la sua formazione, il vortice a forma di nodo a trifoglio si allunga e si deforma, alcuni profili si riavvicinano ed entrano in collisione. Poi i profili si formano nuovamente e il risultato di questa trasformazione consiste in due vortici a forma di anelli non intrecciati che si muovono allontanandosi l’uno dall’altro (quest’ultimo fenomeno è difficile da vedere nel video ma gli autori hanno naturalmente utilizzato dei metodi di analisi più sofisticati della loro semplice percezione visiva).

L’equazione di Eulero

Nel 1755, Leonhard Euler stabilisce l’equazione che porta il suo nome e fornisce un modello per il comportamento dell’acqua [1]. Non scriveròeuler l’equazione in questo articolo ma vorrei comunque precisare brevemente il significato della frase «l’equazione fornisce un modello per il comportamento dell’acqua». L’equazione inventata da Eulero riguarda il «campo delle velocità» del fluido. Per capire cosa sia il campo delle velocità immaginate un fluido in movimento, come nel video visto sopra o come nell’animazione qui sotto. A un dato istante di tempo t, arrestiamo il movimento e disegniamo il «vettore velocità» di ogni molecola: tale «vettore velocità» altro non è che una freccia che indica la direzione del movimento della molecola; la freccia è tanto più lunga quanto più il movimento della molecola è rapido. Possiamo quindi disegnare un gran numero di frecce (una per ogni molecola); in pratica, se ne disegnano tante quante ne bastano per immaginare tutte le altre. Questo dà una raffigurazione pittorica dell’oggetto matematico chiamato «campo delle velocità» il quale corrisponde al dato di una freccia per ogni punto dello spazio. La seconda animazione rappresenta l’evoluzione nel tempo del campo delle velocità corrispondente al movimento dell’acqua nella prima animazione; le frecce sono colorate in funzione della loro lunghezza: le frecce rosse corrispondono alle molecole più rapide e quelle blu alle più lente.

A questo punto possiamo precisare cosa è l’equazione di Eulero: è una formula per calcolare l’evoluzione del campo delle velocità. In altre parole, se si conosce il campo delle velocità in un dato istante temporale, l’equazione di Eulero permetterà di calcolare ciò che esso diventerà un secondo più tardi. Reiterando il calcolo è possibile determinare che cosa sarà dopo due secondi, poi dopo tre secondi, e così via per prevedere l’evoluzione del campo delle velocità in un tempo lungo a piacere .

Questa descrizione di ciò che permette di fare l’equazione richiede due osservazioni. Da un lato, l’equazione di Eulero è un’equazione differenziale alle derivate parziali, il che significa che essa è formulata nel linguaggio del calcolo differenziale e che per un matematico le frasi precedenti sono corrette solo se si sostituisce “la durata di un secondo” con “la durata infinitamente piccola”. D’altra parte, questa descrizione chiarisce solo ciò che l’equazione permette di fare e non rivela nulla del suo contenuto più profondo, vale a dire la ricetta per determinare il nuovo campo delle velocità a partire dal vecchio. Del resto, la ricetta proposta da Eulero e contenuta nella sua equazione non fornisce un modello matematico molto potente per descrivere il movimento dell’acqua. Ciò ha portato Navier e Stokes a proporre un’equazione più realistica introducendo nell’equazione di Eulero un termine detto «termine di viscosità» che tiene conto dell’attrito tra le molecole di acqua; l’equazione di Navier-Stokes fornisce una seconda ricetta dando un risultato differente da quello di Eulero per calcolare l’evoluzione del campo delle velocità di un fluido.

Helmholtz e la conservazione dei profili dei vortici

Un risultato dimostrato da Hermann von Helmholtz nel 1858 illustra l’interesse paradossale dell’equazione di Eulero. Helmholtz studia lehelmholtz «linee/profili dei vortici» di un campo di velocità che evolve secondo tale equazione e scopre delle proprietà sorprendenti. Le linee dei vortici sono, in fondo, le linee intorno a cui ruotano le particelle; esse sono ovviamente definite matematicamente con precisione a partire dal campo delle velocità, sempre nel linguaggio del calcolo differenziale; i matematici le chiamano «traiettorie del campo delle velocità di rotazione». In ciascuno degli esperimenti nel video all’inizio dell’articolo, una di queste linee dei vortici è molto visibile e corrisponde alla posizione occupata dalla curva del profilo ad ala di aeroplano. Per il campo delle velocità nell’animazione del paragrafo precedente le linee dei vortici sono cerchi come quelli disegnati in blu nell’immagine qui sotto.

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 Helmholtz si rende conto che queste linee si deformano durante il movimento esattamente come se fossero trasportate dal flusso: se, dopo aver messo in pausa un video del movimento dell’acqua, si dipingono di rosso tutte le molecole che si trovano in quel momento lungo una stessa linea dei vortici, quando si riavvia il video la linea tracciata dalle molecole rosse si deformerà pur continuando a materializzare, in ogni istante, una linea dei vortici del campo delle velocità. Supponiamo ora che all’istante iniziale una delle linee dei vortici si richiuda su se stessa per formare un nodo. Dopo la scoperta di Helmholtz, questa linea dei vortici annodati si deformerà continuamente durante tutta la successione dei movimenti senza mai potersi sciogliere. In altre parole, le linee dei vortici annodate sono indistruttibili. Viceversa, nessun nodo può apparire in un determinato istante se non è già presente. L’esperimento condotto da fisici di Chicago è chiaramente in contraddizione con queste proprietà, addirittura ben due volte: all’inizio dell’esperimento, poiché dei nodi sono creati dal fluido a riposo e una seconda volta nel momento in cui la topologia dei nodi cambia quando il nodo a trifoglio si trasforma in due vortici slegati. Un bel risultato matematico che però rovina la pretesa dell’equazione di Eulero di essere un modello realistico del fenomeno per descrivere il quale è stata messa a punto! Nel suo famoso libro di fisica, Feynman ha riassunto il fallimento dell’equazione di Eulero come modello matematico del comportamento dell’acqua intitolando il corrispondente capitolo “Il flusso dell’acqua asciutta”. [2]

Gli atomi-vortici di William Thomson

Oggi sappiamo tutti che la materia è costituita da atomi ma il modello atomico non è per nulla evidente in quanto è lontano dalla nostra intuizione secondo cui la materia è continua. Per molto tempo gli alchimisti hanno cercato di comprendere la materia con l’aiuto dei quattro elementi (acqua, aria, terra, fuoco). Alla fine del XVIII secolo le osservazioni di reazioni chimiche sono sempre maggiori quindi John Dalton propone di interpretare i risultati sperimentali utilizzando un’ipotesi atomica, vale a dire postulando che la materia è composta da una moltitudine di “grani” elementari indistruttibili e ogni grano è la più piccola parte di un composto capace di combinarsi con altri composti mediante reazioni chimiche. Questa assunzione rende conto, per esempio, del perché l’idrogeno allo stato gassoso si combina con l’ossigeno in una proporzione di 2 litri per 1 litro (per formare l’acqua). Tuttavia, sarà ancora necessario un secolo di osservazioni e controversie prima che l’interpretazione di Einstein del movimento caotico di granelli di polline in acqua, detto moto browniano, come dovuto all’incessante bombardamento da parte delle molecole d’acqua - interpretazione confermata dalle attente osservazioni di Jean Perrin nel 1908 – consolidi definitivamente la teoria atomica [3].

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thompsonNel XIX secolo i sostenitori dell’ipotesi atomica si chiedono a che cosa possa rassomigliare un atomo. A quel tempo infatti i costituenti elementari dell’atomo non sono stati ancora scoperti. D’altra parte, i fisici postulano l’esistenza di un fluido, l’etere, ritenuto utile per supportare la propagazione delle onde luminose. L’etere è visto come un fluido, incomprimibile e non viscoso, modellizzato dall’equazione di Eulero. Dopo aver appreso della scoperta di Helmholtz relativa alla non secabilità delle linee dei vortici, William Thomson nel 1867 formula l’idea secondo cui gli atomi dei chimici sono linee dei vortici annodate nel campo delle velocità dell’etere; la figura sopra, tratta da uno dei suoi articoli, mostra alcune delle possibili configurazioni. Le proprietà delle linee dei vortici [4] coincidono abbastanza bene con ciò che ci si aspetta da un atomo e l’idea entusiasma numerosi fisici contemporanei. Tuttavia, essa risulterà superata in seguito alla scoperta dell’elettrone nel 1897.

I vortici di etere di Thomson non si sono rivelati molto indicati per descrivere gli atomi e l’equazione di Eulero modellizza in modo veramente poco accurato il comportamento dell’acqua. Tuttavia, l’idea di atomo-vortice ha dato vita alla teoria matematica dei nodi [5] e i matematici, la cui principale preoccupazione non è descrivere il mondo fisico, hanno continuato a subire il fascino dell’equazione di Eulero. Specialmente la questione suscitata dall’idea di Thomson: è possibile trovare delle soluzioni dell’equazione di Eulero che presentano linee dei vortici annodate?

Nodi nell’acqua asciutta

Due matematici, Alberto Enciso e Daniel Peralta-Salas, hanno recentemente risposto a questa vecchia domanda. Hanno innanzitutto dimostrato, in un articolo caricato nel 2010 sul server di preprint Arxiv e poi pubblicato nel 2012 sulla rivista Annals of Mathematics [6], l’esistenza di soluzioni dell’equazione di Eulero con alcune linee dei vortici annodate. Il loro teorema predice addirittura l’esistenza di una soluzione con una linea dei vortici che descrive il vostro nodo preferito, quale che sia. Le soluzioni trovate da Enciso e Peralta-Salas hanno due proprietà molto particolari che ne fanno dei «campi di Beltrami». Primo, esse sono stazionarie, il che significa che il campo delle velocità è fisso, non si deforma nel corso del tempo: detto altrimenti, esso modellizza il flusso di un fluido in cui tutte le molecole che passano successivamente per uno stesso punto fissato avrebbero lo stesso vettore della velocità nel momento in cui passano da quel punto. La seconda proprietà molto speciale dei campi di Beltrami dice che le molecole del fluido si muovono lungo le linee dei vortici. Entrambi gli autori hanno confermato questo primo risultato in un secondo articolo, caricato su Arxiv nell’ottobre 2012. Essi vi dimostrano l’esistenza non solo di una traiettoria annodata in conformità a un dato nodo ma anche di un intero “tubo” di traiettorie che vorticano intorno a questo nodo.

Il commento del primo articolo apparso su Mathematical Reviews [7] afferma che «la dimostrazione è molto complessa e combina concetti di topologia differenziale con tecniche di equazioni differenziali ordinarie ed equazioni differenziali alle derivate parziali, e in particolare i celebri teoremi di Cauchy-Kovaleskaya di persistenza delle orbite iperboliche e di Lax-Malgrange». Il secondo articolo aggiunge anche altre tecniche altrettanto elaborate come il famoso teorema KAM .

Un enunciato

Per concludere questo articolo ecco l’enunciato del primo teorema di Enciso e Peralta-Salas così come appare nel loro articolo.

Theorem
Let L \subset \mathbb{R}^3 be a possibly unbounded, locally finite link. Then for any real constant \lambda>0 one can transform L by a C^\infty-diffeomorphism \Phi of \mathbb{R}^3 arbitrarily close to the identity in any C^r norm, so that \Phi(L) is a set of stream lines of a Beltrami field u, which satisfies \mathrm{curl} \ u = \lambda u in \mathbb{R}^3.

Una traduzione approssimativa e non rigorosa in linguaggio corrente è la seguente: dato un nodo, esiste un campo delle velocità che è una soluzione stazionaria dell’equazione di Eulero e per la quale una delle traiettorie è periodica e descrive una curva molto vicina al nodo dato. [8]

BIBLIOGRAFIA

  • Spiegazioni più dettagliate sugli esperimenti dei fisici a questi link: http://www.newscientist.com/article/dn23227-first-fluid-knots-created-in-the-lab.html#.UoSF8KVWHj2 (testo), https://www.youtube.com/watch?v=Ja886GtHlcE (video)

  • L’articolo dei fisici: Dustin Kleckner & William T. M. Irvine, Creation and dynamics of knotted vortices, Nature Physics 9, 253-258 (2013). (http://www.nature.com/nphys/journal/v9/n4/full/nphys2560.html)

  • Il primo articolo dei matematici: Alberto Enciso & Daniel Peralta-Salas, Knots and links in steady solutions of the Euler equation, Annals of Mathematics 175, 345-367 (2012). (http://annals.math.princeton.edu/2012/175-1/p09)

  • Il secondo articolo dei matematici: Alberto Enciso & Daniel Peralta-Salas, Existence of knotted vortex tubes in steady Euler flows. arXiv preprint arXiv:1210.6271 (2012). (http://arxiv.org/pdf/1210.6271%E2%80%8E)

  • La fisica di Feynman, volume 2, capitolo 40.

NOTE

[1] Sulla storia della meccanica dei fluidi e l’equazione di Navier-Stokes si può leggere per esempio, in ordine crescente di difficoltà: il fumetto al seguente link: http://www.sciencesmaths-paris.fr/fr/bd-462.htm, l’articolo di Isabelle Gallagher al seguente link: http://images.math.cnrs.fr/Autour-des-equations-de-Navier.html, l’articolo di Laure Saint-Raymond e Thomas Sonar al seguente link: http://images.math.cnrs.fr/Turbulences-sur-les-equations-des.html.

[2] Estratto dal libro di Feynman: «In questo capitolo, si assume che il liquido sia “fine” nel senso che la viscosità sia trascurabile, quindi dovremo omettere il corrispondente termine nell’equazione. Eliminando il termine viscosità, faremo un’approssimazione e descriveremo una sorta di liquido ideale piuttosto che l’acqua vera. John von Neumann era ben consapevole dell’enorme differenza tra ciò che accade quando si rimuove il termine viscoso e quando lo si mantiene e si rese anche conto che, dall’inizio della storia della meccanica dei fluidi fino al 1900 circa, quasi tutti gli sforzi si concentravano sulla risoluzione di bei problemi matematici con questa approssimazione cosa che li rendeva quasi senza alcun collegamento con i fluidi reali. Egli parlava dei teorici che studiavano questi problemi come di persone che studiavano l’“acqua asciutta”».

[3] Per ciò che concerne l’insegnamento, alcuni manuali di fisica del 1940 fanno giusto un rapido cenno all’«l’ipotesi atomica»!

[4] Come la possibilità, dimostrata sperimentalmente su dei vortici di fumo, di un comportamento oscillatorio di tali vortici che potrebbe spiegare lo spettro di energia di un atomo.

[5] Per una introduzione alla teoria dei nodi si veda per esempio l’articolo di Jérôme Dubois al seguente link: http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/geometrie/introNoeuds.pdf.

[6] Quando i matematici ritengono che un loro articolo sia pronto hanno la possibilità di caricarlo sul sito Arxiv (http://arxiv.org) dove sarà immediatamente (e gratuitamente) accessibile. Contemporaneamente, essi lo sottomettono a una rivista i cui editori lo fanno leggere a uno o più “arbitri” («referee») incaricati di verificare l’esattezza e l’interesse del risultato; tale processo può richiedere diverso tempo cosa che spiega in parte il ritardo tra la pre-pubblicazione su Arxiv e la pubblicazione definitiva.

[7] La rivista Mathematical reviews fornisce dei riassunti e dei commenti sugli articoli pubblicati sulle riviste matematiche.

[8] In realtà, «link» viene tradotto come «intreccio»; un intreccio è un insieme di nodi; il teorema consente dunque di realizzare non solo un dato nodo ma qualsiasi insieme di nodi “localmente finito”.

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