Il concetto matematico di cui non potremmo fare a meno: Strategia mista (di Roberto Lucchetti)

On November 12, 2015

Quali sono i concetti matematici che ritenete indispensabili, ossia di cui proprio non potreste proprio fare a meno? E se aveste solo due ore per insegnare qualcosa a qualcuno che vuole sapere qualcosa di matematica, proprio non riuscireste a non insegnargli quello? Ovviamente potete barare in tutti i modi possibili, come è naturale.

Roberto Lucchetti risponde.

Datemi due ore di tempo e io vi parlerò del concetto di strategia mista. Pensate che sia uno scherzo di carnevale? Proprio no, ne fa fede il fatto che i giochi sono la cosa più seria che ci sia, quindi occuparsi di giochi è importante e rende molto autorevoli, e analizzare i giochi senza il concetto di strategia mista è proprio impossibile. La locuzione “strategia mista” contiene due parole, quindi per cominciare prendiamoci il tempo adeguato per capire prima di tutto che cosa è una strategia; il mista seguirà. Dato un gioco qualunque, si chiama strategia per il giocatore una specificazione di ciò che fa in ogni situazione possibile in cui è chiamato a prendere una decisione. Per fare un esempio pensiamo al gioco del tris, nel quale si tratta di scegliere a turno un quadratino tra nove, mettendoci il proprio simbolo, con lo scopo di cercare di fare una riga di propri simboli, in orizzontale, verticale o in diagonale, e tutti capiscono la mia spiegazione, perché tutti ci hanno giocato almeno una volta, durante certe ore di noia mortale passate a scuola.

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4 5 6
7 8 9

Proviamo allora a immaginare di scrivere una strategia del primo giocatore, Alberto, che gioca contro Bob, e che mette X nella casella scelta, mentre Bob usa una Y:

  • Metto X nella casella numero 1
  • Se Bob mette Y nella 2 allora io metto X nella 3, se Bob mette Y nella 3, allora io metto X nella 4,… se Bob mette Y nella 9 allora metto X nella 2
  • Se la situazione attuale è 1 (X) 2(Y) 3(X) 4(Y) allora metto X nella 5, se è 1 (X) 2(Y) 3(X) 5(Y) allora metto X nella 4, se…

Insomma, mica una cosa semplice. Però è chiaro che, con questa definizione, quando i due giocatori specificano una strategia ciascuno,  si sa che partita è effettivamente (e si potrebbe pure notare che le informazioni fornite dalle strategie sono persino ridondanti). Comunque, la cosa importante è che la definizione di strategia ci permette di dire che quando i giocatori ne annunciano una ciascuno, l’esito del gioco è determinato.

A che ci serve tutto questo? Come ogni cosa che si fa in matematica, ci deve servire per ottenere informazioni. In questo caso, sul comportamento di giocatori razionali. E nell’esempio precedente tutti o quasi sappiamo che il risultato non può essere diverso dal pareggio: due che sanno analizzare le cose devono concordare che il risultato inevitabile è il pareggio… e se non siete convinti, pensate a un gioco molto stupido: ci sono 4 carte sul tavolo, ogni giocatore ne deve togliere una o due, e chi toglie l’ultima perde. E’ evidente che vince il secondo: se al primo turno il primo ne toglie una, lei ne toglie due lasciando il primo con una carta sul tavolo, se ne ha tolto due, lei ne toglie una…quindi tra due giocatori capaci di fare l’analisi del gioco al livello di profondità necessaria l’esito del gioco è sempre lo stesso.

Tutto questo succede nei giochi a informazione perfetta, cioè in quei giochi in cui tutto è noto ai giocatori, in ogni istante di ogni possibile partita. Come ad esempio la dama, gli scacchi, o il go, per citarne tra i più famosi.

Bene, un importante teorema afferma che in questi giochi i giocatori hanno strategie di gioco ottimali, quindi un esito prevedibile, purché i giocatori abbiano il livello di razionalità adeguato.

Tuttavia, non tutti i giochi ricadono nella categoria di quelli a informazione perfetta. Se gioco a carta, sasso forbici, io non conosco la mossa del mio avversario (infatti nessuno accetta di giocare per primo a questo gioco se la mossa del primo è visibile). E per fortuna nessun teorema ci garantisce che l’esito di questa partita tra due giocatori razionali è scontato: mettete pure a giocare Gödel e Turing, ma chi vince una singola partita non potete prevederlo, e nemmeno prevedere il pareggio. E quindi non ha senso parlare di strategie ottimali in questo caso, cioè strategie che un giocatore sceglie sempre quando gioca, perché di meglio non potrebbe ottenere. Infatti se qualcuno vi osserva giocare a carta sasso e forbici parecchie volte in una stanza, anche con giocatori diversi, si stupirebbe, se vi ritiene intelligente, di vedervi giocare sempre la stessa cosa, ad esempio sasso.

Ecco che comincia a insinuarsi l’idea di mischiare un po’ le carte.

Una strategia mista è dunque una distribuzione di probabilità sulle strategie pure. Nel nostro esempio, potrei decidere di giocare il 50% delle volte carta e il 25% per cento le altre due (25% ciascuna, altrimenti…). Ma sarebbe una buona idea? Certo, meglio che giocare sempre carta (cioè una strategia pura): uno che mi osserva dopo un po’ capisce, e con me vincerà sempre.  Ma anche la strategia di sopra non è ottimale, perché il secondo giocando sempre forbici si garantisce, alla lunga, di guadagnare qualcosa, il che non è logico in un gioco simmetrico.

Un meraviglioso teorema ci garantisce che nei giochi competitivi (in breve, quelli dove se io guadagno qualcosa il mio avversario perde la stessa cosa) esiste sempre un modo ottimale di giocare per i giocatori. Il che significa che, in media, il risultato è prevedibile!

Non potevamo pretendere di più. Ma dai matematici un teorema del genere ce lo possiamo aspettare perché, se non possiamo arrivare a un risultato, possiamo accontentarci di risultati parziali significativi: se un problema è impossibile da risolvere, provo a trovare qualcosa di meno della soluzione classica del problema, ma pur sempre significativo.

Astrazioni da matematici? Forse, ma astrazioni molto realistiche. Perché la vita, quando non è proprio gioco, è almeno modellizzabile come gioco, e di solito il gioco non è a informazione perfetta: proprio per questo usiamo sempre o quasi strategie miste.

Insomma, nonostante quel che pensava Einstein, forse Dio ha giocato davvero a dadi, e certamente costringe noi a giocare ai dadi: sta a noi farlo in maniera intelligente, scegliendo la strategia mista più appropriata.

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