#9 Il concetto matematico di cui non potremmo fare a meno: Spazio Topologico (di Lucia Caporaso)

On March 1, 2016

Quali sono i concetti matematici che ritenete indispensabili, ossia di cui proprio non potreste proprio fare a meno? E se aveste solo due ore per insegnare qualcosa a qualcuno che vuole sapere qualcosa di matematica, proprio non riuscireste a non insegnargli quello? Ovviamente potete barare in tutti i modi possibili, come è naturale.

Lucia Caporaso risponde.

Come per molti matematici che si occupano di geometria, gli  spazi  topologici sono come l'aria che respiro. Ci lavoro costantemente senza nemmeno accorgermene. Una struttura topologica è un tipo particolarmente semplice di struttura geometrica, nel senso che quando pensiamo alla  geometria  pensiamo anche, volenti o nolenti, alla topologia. Prendiamo come  esempio la geometria "euclidea" del piano, con i punti, rette, segmenti, triangoli, angoli, circonferenze e via dicendo. Si può pensare alla sua struttura topologica come se fosse visibile attraverso  occhiali semplificatori che  lasciano vedere   alcune cose  nascondendone  altre,  superflue dal punto di vista topologico; un po' come gli occhiali oscuranti che si usano per guardare le eclissi di sole.

In matematica la semplificazione è un'arte che si impara da piccoli, insieme al fatto che tutto ciò che è superfluo può essere dannoso. Se guardate il piano con questi occhiali topologici, per prima cosa spariranno gli angoli; quindi confonderete un triangolo con una circonferenza o con un poligono con tanti lati. Però avrete ben chiara la differenza tra una circonferenza e un segmento, o tra una circonferenza e il disco da essa delimitato. Le rette potranno curvarsi liberamente, però sarete in grado di stabilire se e quanto si intersecano, e se si avvicinano o restano separate tra loro.

Proprio per la sua  natura  essenziale in geometria, il concetto di spazio topologico deve essere autonomo, logicamente parlando; bisognerebbe poterlo spiegare senza far riferimento a sovrastrutture (come la geometria del piano euclideo di cui parlavo prima). Ed è proprio così, il concetto di spazio topologico è uno di quei pochi concetti matematici che possono essere spiegati senza preliminari tecnici, se non  un po' della   teoria degli insiemi che si impara a scuola. Eppure è un concetto straordinario, è una sorta di polvere magica che, sparsa su un  terreno insulso, lo trasforma in uno spazio interessante pieno di attrazioni turistiche: zone aperte (un'oasi nel deserto), chiuse (una torre medioevale), con bordo (un campo di calcio). Inoltre due cose o persone in questo spazio possono essere  lontane, vicine, o addirittura inseparabili (un grande albero e la sua radice), possono tendere una verso l'altra (come se si rincorressero), o possono essere l'una irrimediabilmente separata dall'altra (come se ci fosse tra loro un fossato pieno di  coccodrilli).

Ora, per dimostrare che non stavo imbrogliando quando dicevo che definire uno spazio topologico è molto semplice, passiamo alla ricetta di questa "polvere magica": come si fa a trasformare un qualsiasi insieme in uno spazio topologico? Bisogna dichiarare che certi suoi sottinisiemi sono "aperti", etichettandoli come tali mentalmente. Per far funzionare la ricetta bisogna fare  in modo che l'intersezione di due insiemi aperti sia ancora un insieme aperto e che l'unione di un numero, anche infinito, di insiemi aperti sia aperta. Questi due requisiti sono fondamentali, ma se non li completassimo con qualcos'altro risulterebbero inefficaci. Prima di tutto, vogliamo ricoprire di polvere magica tutto l'insieme da cui siamo partiti, senza lasciare buchi, altrimenti tanto valeva partire con un insieme più piccolo da subito, senza perdere tempo. Quindi tagliamo la testa al toro e decretiamo che tutto l'insieme sia aperto. Infine cosa succede se, come è molto plausibile che accada, l'intersezione di due insiemi aperti è vuota?Nessun problema, basta aggiungere il requisito che anche l'insieme vuoto, per quanto superfluo possa essere,  sia etichettato come aperto. Tutto qua. La ricetta è finita. Forse vi state chiedendo: abbiamo parlato solo di  aperti, e i chiusi? Niente paura: la ricetta dice che i chiusi sono i complementari degli aperti, dunque gli aperti determinano i chiusi e i chiusi determinano gli aperti, e possiamo veramente chiuderla qua.

Chi sono gli insiemi aperti nella topologia del piano, quella visibile attraverso gli occhiali topologici di cui parlavamo prima? Tra questi ci sono gli insiemi all'interno dello spazio delimitato da una circonferenza o un poligono; prendete una circonferenza con raggio e centro qualsiasi, considerate il disco da essa racchiuso privato della circonferenza stessa e avrete un insieme aperto, che chiamiamo, appunto,  "disco aperto". Fate la stessa cosa con un poligono e avrete un insieme aperto. A questo punto etichettiamo come aperti tutti i sottinsiemi del piano che sono unioni di dischi aperti. Questa struttura di spazio topologico è particolarmente importante e porta molto lontano. Per esempio, porta alle teorie omologiche e coomologiche, strumenti estremamente efficaci in matematica, in fisica, in informatica e in varie applicazioni, incluse quelle finanziarie.

D'altra parte, e forse ve ne siete già accorti, su uno stesso insieme possiamo spargere polveri  magiche diverse, ottenere diversi tipi di spazi topologici; tutto dipende dalla scelta degli aperti. Ci saranno quindi spazi topologici più interessanti di altri; la matematica non è molto democratica, va detto. Ma bisogna essere onesti, per esempio, se come insieme prendiamo il sistema solare con tutti i suoi corpi celesti  (sole, pianeti, satelliti, comete, asteroidi ...) e, facendo sfoggio di minimalismo, dichiariamo che gli unici insiemi aperti sono tutto il sistema solare e l'insieme vuoto, abbiamo combinato ben poco: in  questo spazio topologico non distinguiamo le comete dai pianeti, non sappiamo se la Terra è più vicina al sole di Nettuno, è tutto confuso come in un magma primordiale.

In conclusione, con questa ricetta minimalista, invece di avervi introdotto una struttura  che ci permetta di studiarlo, abbiamo banalizzato il sistema solare. E infatti  uno spazio topologico i cui gli unici aperti sono tutto l'insieme  e l'insieme vuoto è detto dai matematici "spazio topologico banale", e viene trattato con un certo disprezzo.

Una struttura di spazio topologico più utile sul sistema solare è quella analoga a quella che abbiamo definito prima sul piano. Ma ce ne sono anche altre, e molto interessanti. Ma  non limitiamoci al sistema solare e  allarghiamo l'orizzonte, consideriamo la nostra galassia, anzi, consideriamo l'intero universo. Che geometria ha? Che topologia ha? Domande molto interessanti, per le quali esistono risposte congetturali ancora più  interessanti. Spero con questo di avervi incuriosito sull'argomento incoraggiandovi ad approfondirlo e, nel caso,  mi raccomando: fatelo a mente topologicamente aperta!

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