Quali sono i concetti matematici che ritenete indispensabili, ossia di cui proprio non potreste proprio fare a meno? E se aveste solo due ore per insegnare qualcosa a qualcuno che vuole sapere qualcosa di matematica, proprio non riuscireste a non insegnargli quello? Ovviamente potete barare in tutti i modi possibili, come è naturale.

Pino Rosolini risponde.

Non riesco a fare matematica senza usare le categorie: non quelle aristoteliche, o meglio, non le categorie come le aveva impostate Aristotele, bensì come le hanno definite Samuel Eilenberg e Sauders Mac Lane nel loro articolo dal 1945 sui Transactions of the American Mathematical Society. Sono un argomento difficile, forse c’è anche qualcuno che lo trova molto difficile, ma offrono un linguaggio di una potenza espressiva mai immaginato prima, neppure in matematica. Anzi, come dichiara Eugenia Cheng nel suo recente libro “How To Bake Pi“, la teoria delle categorie è la matematica della matematica.

Come molte delle categorie aristoteliche rappresentano concetti astratti, molte delle categorie di Eilenberg e Mac Lane rappresentano concetti astratti. Ma capita anche di poter visualizzare categorie in situazioni reali. Ad esempio, quando consultiamo Google Maps per trovare un percorso da casa al cinema, otteniamo spesso più opzioni possibili e di ciascuna di queste veniamo informati sulla lunghezza e sul tempo stimato di percorrenza. Google ci sta mostrando alcuni dei percorsi da casa al cinema nella categoria di tutti i percorsi sulla cartina della nostra città, quelli che Google ha ritenuto più convenienti per noi dal punto di vista di lunghezza e tempo di percorrenza.

A scanso di equivoci, ricordo in fretta la definizione di categoria: una categoria è un grafo dotato di un’operazione $$\ast$$ su archi consecutivi che fornisce un arco che parte dalla partenza del primo arco e arriva nell’arrivo del secondo. Questa operazione deve essere formalmente associativa con elementi neutri (uno per ogni nodo). Il grafo dei percorsi sulla cartina di una città è una categoria: se, dopo essere andati al cinema, andiamo a berci qualcosa con gli amici al bar Mezzanotte, il percorso completo che avremo fatto va da casa al bar Mezzanotte (e avremmo potuto farlo senza fermarci a guardare il film al cinema).

Ma gli esempi più diretti sono comuni ai matematici: il grafo i cui nodi sono i gruppi e dove gli archi da un gruppo G a un gruppo H sono gli omomorfismi di gruppo da G a H, è una categoria una volta che si consideri l’operazione di composizione di omomorfismi. Basta prendere gli spazi vettoriali reali con le applicazioni lineari e si ottiene un’altra categoria, oppure prendere gli spazi topologici con le funzioni continue.

Le categorie di Eilenberg e Mac Lane non si limitano a organizzare le strutture in comparti separati. Come in qualunque situazione con strutture algebriche, permettono di gestire i collegamenti tra una categoria e un’altra grazie agli “omomorfismi di categorie” (che si chiamano funtori). Quando si inizia a vedere come le costruzioni matematiche sono organizzate in funtori e come le proprietà di ciascuna di queste ha motivazioni più  generali, si passa ad un livello diverso di astrazione: e la matematica diventa ancora più bella.

E non finisce qui: ci sono gli omomorfismi di omomorfismi (sì, sembra impossibile!). A questo punto si ha a disposizione un arsenale di concetti incredibilmente generali che però si esemplificano utilmente in moltissime situazioni interessanti.

Insomma, sì, proprio non posso fare matematica senza le categorie.

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.