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La probabilità è stata considerata per anni una scienza minore. Nata per questioni di gioco d’azzardo, pochi ne vedevano il valore scientifico. Le cose cambiano all’inizio del secolo scorso. Prima La meccanica quantistica mostra che la probabilità è parte integrante del mondo microscopico. Poi Andrej Nikolaevič Kolmogorov, e in Italia Bruno de Finetti sono tra coloro che contribuiscono a fornirla di solide basi matematiche. De Finetti cura la definizione di probabilità in termini soggettivisti, Kolmogorov nell’ambito della teoria della misura. La probabilità mostra i limiti e gli errori dell’intuito, come nel caso del Paradosso di Monty Hall.

Monty Hall è lo pseudonimo di Maurice Halprin, conduttore del gioco a premi americano Let’s Make a Deal. Ci sono tre porte. Una nasconde il vero premio, una Ferrari, mentre dietro ognuna delle altre due c’è una capra. Il concorrente sceglie una delle tre porte, senza avere alcuna informazione. A questo punto, il conduttore, che sa dietro quale porta è nascosta l’automobile, apre una delle altre due porte e mostra al concorrente una capra. A questo punto, il conduttore chiede “Vuoi cambiare scelta?”. L’intuito ci spinge a vedere un 50% di probabilità di vittoria nel cambio porta.

Ma le cose non stanno così. Nel 1975 il biostatistico americano Steve Selvin presenta la strategia da adottare, nell’articolo “A problem in Probability”. La conclusione è: accettare la proposta di cambio di porta del conduttore raddoppia le probabilità di vittoria del concorrente. L’articolo è oggetto di molte critiche, al punto che dopo qualche mese Selvin pubblica “On the Monty Hall Problem”, una nota di commento per chiarire i dettagli. Le critiche non devono stupire tanto, basti pensare che lo stesso Paul Erdős non era del tutto convinto di questa soluzione.

Analizziamo gli aspetti matematici di questa strategia, mettendoci nei panni del concorrente. All’inizio del gioco, scelta una porta, abbiamo 1/3 di probabilità di aver scelto quella vincente. Nei restanti 2/3 dei casi ci ritroviamo con una capra e la Ferrari è nelle mani del conduttore. Quando il conduttore apre una delle porte restanti e ci mostra una capra, non c’è nessuna sopresa. Intatti sappiamo behe che lui sa dove sta la macchina , e dato che le porte con capra sono due, qualsiasi sia la nostra scelta, trova sempre una porta con dietro una capra da aprire.

Dobbiamo allora cambiare la nostra scelta, quando ce ne viene offerta la possibilità? Poiché la probabilità che la nostra scelta iniziale sia sbagliata è di 2/3, la probabilità che la Ferrari sia nell’altra porta è 1-1/3=2/3. Cambiare scelta significa passare da 1/3 a 2/3: l’accettare il cambio raddoppia la probabilità di vincita. È come se il gioco consistesse nel scegliere una porta oppure due.

Per chiarire le idee, consideriamo una situazione con più alternative. Un prestigiatore sparpaglia le 52 carte francesi (13 per ciascun seme). Vinciamo un premio se estraiamo il tre di fiori. Prendiamo una carta a caso senza scoprirla. C’è una probabilità di 1/52 che sia proprio il tre di fiori. A questo punto il prestigiatore scopre 50 delle sue 51 carte, lasciandone coperta solo una sul tavolo, oltre alla nostra. Arriva la fatidica domanda “vuoi cambiare carta?”. Come per il problema di Monty Hall, anche in questo caso la probabilità che il tre di  fiori sia tra le carte del prestigiatore è di 51/52. Quindi, cambiare carta significa una probabilità di vincita di 1-1/52=51/52: nettamente più alta dell’iniziale 1/52.

L’aspetto poco intuitivo costa a Selvin molte critiche, al punto che il problema è ribattezzato paradosso di Monty Hall. La maggior parte vede la proposta di cambio come ingannevole, mentre nella formulazione del problema il conduttore non ha alcun intento né di favorire, né di ingannare il concorrente. Ad esempio, se il conduttore proponesse di cambiare porta solo quando la nostra scelta iniziale è vincente, allora il cambio di porta annullerebbe le nostre probabilità. All’altro estremo, se il conduttore proponesse il cambio solo quando la nostra scelta iniziale è perdente, allora il cambio  ci farebbe vincere con certezza. Ma nella formulazione originale, il conduttore non usa  alcuna informazione aggiuntiva.

C’è un caso in cui la probabilità è in linea con l’intuito nel problema di Monty Hall? Sì, se supponiamo che dopo che il conduttore ha aperto una porta con la capra arrivi una terza persona, all’oscuro di quanto successo, e gli si chieda di scegliere la porta vincente. In questo caso la sua probabilità è del 50%, e continua ad essere tale anche con la fatidica domanda “Vuoi cambiare la tua scelta?”. A differenza del problema di partenza, la terza persona si trova a dover scegliere solo tra due porte, quindi non ha alcuna traccia del problema iniziale.  Le nostre azioni e le nostre esperienze influenzano la stima della probabilità di un evento. Insomma, la probabilità può essere l’arma per comprendere la complessità della realtà superando i bias dell’intuizione.

[Illustrazione di Luca Manzo]

 

Marco Menale

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