Esattamente cento anni fa moriva Srinivasa Ramanujan, uno dei matematici più singolari e romanzeschi di tutti i tempi. Alessandro Zaccagnini lo ricorda parlando del problema delle partizioni.

[Originariamente apparso il 26 aprile 2020]

Cade oggi 26 aprile 2020 il centenario della morte di Srinivasa Ramanujan. In questo articolo non cerchiamo di darne un profilo biografico, quanto piuttosto ricordare e descrivere uno dei suoi tanti contributi alla Matematica, e in special modo alla Teoria dei Numeri. Ci guiderà il libro , scritto da G. H. Hardy^{[1 ]}G. H. Hardy. Ramanujan. Twelve lectures on subjects suggested by his life and works. Chelsea, New York, third edition, 1999. che, come tutti sanno, fu il destinatario della lettera piena zeppa di scoperte che Ramanujan scrisse nel 1913.

Tutti conoscono i tratti essenziali della biografia di Ramanujan. Un semplice impiegato nella città indiana di Madras (oggi Chennai), totalmente autodidatta e senza contatti con altri matematici, senza accesso ad una buona biblioteca, inviò al grande matematico britannico G. H. Hardy una lettera piena zeppa di sue scoperte, presto seguita da una seconda lettera dello stesso tenore. Dopo qualche istante di comprensibile smarrimento, Hardy si rese conto delle potenzalità di Ramanujan, si adoperò per fargli avere una posizione a Cambridge, riuscí a convincerlo a raggiungerlo nel Regno Unito (Ramanujan non voleva viaggiare sul mare per motivi religiosi) avviando cosí una fruttuosa collaborazione che purtroppo durò solo qualche anno. Già gravemente malato, Ramanujan volle tornare in India, dove morí tragicamente giovane. Una vita cosí romanzesca può competere solo con quella di Évariste Galois.

È molto difficile dare un giudizio sul contributo di Ramanujan alla matematica restando alla larga da tutti gli stereotipi. Comunque la si pensi, sono piú numerose le domande a cui non possiamo rispondere, e anche Hardy stesso esitava a prendere posizione, rispetto a quelle per le quali abbiamo una risposta precisa. E ricordiamoci che Hardy ha lavorato a stretto contatto con Ramanujan, e gli ha parlato praticamente tutti i giorni per anni.

Uno degli argomenti piú interessanti della collaborazione tra Hardy e Ramanujan, dal punto di vista di chi si occupa di Teoria Analitica dei Numeri, è il lavoro sulle partizioni. Vogliamo contare in quanti modi possiamo rappresentare un intero positivo \(n\) come “somma di parti,” senza tener conto dell’ordine in cui si possono scrivere gli addendi. Questo numero si indica con \(p(n)\). Quindi, per esempio, \(p(5) = 7\) perché \[5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1,\] contando anche la partizione di \(5\) in una parte sola. I primi valori sono elencati nella “Online Encyclopedia of Integer Sequences” all’ indirizzo https://oeis.org/A000041.

Nella lettera ad Hardy citata sopra, Ramanujan ha fatto un’affermazione sull’ordine di grandezza della funzione \(p(n)\) quando \(n\) è grande: Ramanujan riteneva che si potesse approssimare \(p(n)\) con una funzione relativamente semplice ed un errore molto piccolo. In effetti, questa cosa non è del tutto vera, ma questo “sbaglio” è molto interessante perché per cercare di trovare la “vera” risposta a questa domanda, Hardy e Ramanujan hanno inventato un metodo radicalmente nuovo per affrontare i problemi “additivi” come questo, chiamato metodo del cerchio. Questo metodo è stato usato sistematicamente negli anni ’20 del secolo scorso dallo stesso Hardy e dal suo principale collaboratore J. E. Littlewood, e poi semplificato ed esteso negli anni ’30 dal matematico sovietico I. M. Vinogradov. Le applicazioni del metodo del cerchio sono state numerosissime, e ancora oggi i piú importanti risultati parziali su problemi aperti come la Congettura di Goldbach sono ottenuti con varianti di questo metodo. Citiamo solo la soluzione definitiva del problema ternario di Goldbach data da Harald Andrés Helfgott^{[2 ]}H. A. Helfgott. . Ann. of Math. Studies, (in corso di pubblicazione). Arxiv preprint 1501.05438..

Pagina dal secondo taccuino di Ramanujan

Ma la storia non finisce certo qui: la formula approssimata per \(p(n)\) trovata da Hardy e Ramanujan permette un calcolo numerico di \(p(n)\) abbastanza accurato anche se \(n\) è relativamente piccolo. Il matematico P. A. MacMahon, che si divertiva molto a fare calcoli numerici (all’epoca non esistevano calcolatrici meccaniche che permettessero di gestire numeri cosí grandi) mise a loro disposizione una tavola del numero di partizioni \(p(n)\) per \(n\) fino a 200. Questa tavola è stata costruita sfruttando il fatto che è possibile calcolare il valore esatto di \(p(200)\) conoscendo tutti i valori \(p(1)\), \(p(2)\), \(p(3)\), …, \(p(199)\). A sua volta, è possibile calcolare \(p(199)\) conoscendo i valori precedenti, e cosí via. Al contrario, la formula di Hardy e Ramanujan permette di calcolare direttamente \(p(200)\), ma commettendo un piccolo “errore.” Il loro primo risultato riguardava, appunto, una stima per la grandezza massima dell’errore di approssimazione.

Confrontando il valore esatto di \(p(200)\) con quello fornito dalla loro formula approssimata, Hardy e Ramanujan si resero conto che la loro formula approssimata era in realtà ben piú precisa di quanto si aspettassero. Tra i motivi del loro interesse nell’accuratezza della formula c’era la possibilità di verificare numericamente una congettura di Ramanujan sulle congruenze soddisfatte da \(p(n)\). In particolare, un’ulteriore analisi permise loro di verificare che \(p(721) \equiv 0 \bmod 11^3\), come Ramanujan aveva congetturato. Notiamo che il calcolo diretto di \(p(721)\) era ben al di là delle possibilità di MacMahon (è un numero di 127 cifre decimali). Altre relazioni di congruenza congetturate da Ramanujan sono state verificate nel corso dell’ultimo secolo.

C’è anche un’ulteriore coda a questa storia. Un paio di decenni dopo la pubblicazione dell’articolo originale, il matematico tedesco Hans Rademacher, nel semplice tentativo di semplificare l’analisi di Hardy e Ramanujan, riuscí a trovare una formula per \(p(n)\) ancor piú accurata delle precedenti, proprio nello spirito di quella originariamente congetturata da Ramanujan.

Mi sono dilungato nel raccontare questo episodio perché mette in mostra una specie di “effetto domino” nelle ricerche in matematica. Si parte da una intuizione su un possibile risultato, ma senza un’accurata verifica e la dimostrazione rigorosa il risultato mantiene lo status di congettura. Una volta dimostrata, o confutata, la congettura, entra a far parte del patrimonio della matematica e le tecniche utilizzate possono essere poi reimpiegate in problemi molto distanti da quello per cui sono state create in origine.

Concludiamo con qualche parola sull’eredità di Ramanujan.

Oggi esiste una rivista di matematica che si chiama “Ramanujan Journal”. Sulla pagina web c’è una dichiarazione impegnativa: “The remarkable discoveries made by Srinivasa Ramanujan have made a great impact on several branches of mathematics, revealing deep and fundamental connections. This journal publishes papers of the highest quality in all areas of mathematics influenced by Ramanujan.” Segue una lunga lista di argomenti.

Esistono alcuni “taccuini” con i suoi appunti e con i suoi calcoli. La dimostrazione rigorosa dei risultati contenuti in questi “notebooks” continua a impegnare generazioni di matematici, fino al giorno d’oggi.

Alessandro Zaccagnini

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.