Ci sono novità sulle equazioni di Navier-Stokes. Discussione semitecnica di Camillo De Lellis

On October 3, 2017

Pochi giorni fa sul sito Arxiv è apparso un preprint dal titolo molto eccitante: "Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation" di Tristan Buckmaster e Vlad Vicol, che lavorano entrambi al Princeton University Mathematics Department. Le equazioni di Navier-Stokes sono state proposte nel XIX secolo come modello matematico del comportamento di un fluido incomprimibile. Nel 1934, il matematico francese Jean Leray ha dimostrato l'esistenza di soluzioni globali "deboli", ma di energia cinetica limitata (e qualcosa di più), per dati iniziali in L^2. Nonostante numerosi progressi, ancora oggi nessuno è riuscito a dimostrare che queste soluzioni sono uniche. Inoltre, anche partendo da un dato regolare, per cui si sa che la soluzione rimane regolare su un certo intervallo di tempo, non si sa dire se queste soluzioni sviluppanno singolarità in tempo finito. Questo problema dal 2000 rientra tra i sette problemi del Millennio, proposti dall'Istituto Clay per la cui soluzione l'istituto offre un milione di dollari (qui trovate l'enunciato preciso del problema, formulato da Charles L. Fefferman, noi su MaddMaths! ne abbiamo parlato qui). Leggendo velocemente l'abstract di Buckmaster e Vicol si potrebbe pensare che, anche se gli autori non pretendono di aver risolto questo problema del Millennio, tuttavia si tratti di un passo importante e quasi decisivo verso la sua soluzione. Per questo, per capire meglio, ci siamo rivolti a Camillo De Lellis (che i lettori di MaddMaths! conoscono benissimo, vedi qui, qui, qui), che negli ultimi anni ha sviluppato numerose tecniche per mostrare risultati di non unicità per alcune equazioni in fluidodinamica, in parte riprese anche in questo nuovo articolo. Riportiamo qui sotto la sua risposta.

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Allora, Roberto, ecco due righe come promesso. Un po’ di formule per essere precisi peró ci vogliono.

1) I ragazzi hanno dimostrato un teoremone, senza ombra di dubbio: ci sono dati iniziali a quadrato sommabile per i quali esistono infinite soluzioni L^2 di Navier-Stokes, con energia cinetica limitata a ogni tempo. Sono quindi nello spazio di energia, anzi le loro soluzioni sono un pelo più regolari.

2) Pur essendo un teoremone, è comunque grosso modo nel framework che abbiamo inventato io e László (n.d.r.: si tratta di László Székelyhidi jr.) per Eulero, una cosa che loro tra l’altro sottolineano più volte nel loro lavoro: ci sono certe delle idee nuove e importanti, ma non reinventano la ruota.

3) Le loro soluzioni non sono di Leray–Hopf. Per queste hai la disuguaglianza

\frac 1 2\int |v|^2 (x,t)\, dx + \int_s^t \int |Dv|^2 (x,\tau) \, dx\, d\tau \leq \frac 1 2\int |v|^2 (x,s)\, dx

per q.o. s e per ogni t>s. In particolare non sanno neanche dire che il doppio integrale di |Dv|^2 al membro sinistro è finito.

4) L’unicità forte debole si sa per le Leray–Hopf che partono da un dato iniziale liscio. Il problema del millennio verrebbe quindi risolto (in negativo) se qualcuno mostrasse nonunicità delle Leray–Hopf partendo da un dato regolare (peraltro, molto regolare!).

La nonunicità delle Leray–Hopf partendo da un dato iniziale sufficientemente irregolare sarebbe certo un ulteriore teoremone, ma è già da 5-6 anni che è congetturata da Jia e Sverak. Tra l’altro loro hanno anche avanzato un programma (totalmente diverso) per dimostrarlo, che per il momento è bloccato su un problema di analisi spettrale.

5) I ragazzi menzionano esplicitamente che puntano a fare la nonunicità di Leray–Hopf con questi metodi. È un’area supernuova e molto sorprendente, che non abbiamo affatto digerito a fondo (essendo uno dei due inventori dell’area forse posso permettermi anche di dire che nessuno la capisce a fondo). Quindi fare previsioni è estremamente azzardato. Certo è che dal loro teorema a un teorema analogo per Leray–Hopf sembra esserci un grosso salto. La prima cosa che lo renderebbe cosí diverso dal teorema che hanno adesso è che:

  • una Leray–Hopf è regolare, C^\infty in spazio e C^1 in tempo, tolto un insieme chiuso di tempi eccezionali di misura 1/2-dimensionale di Hausdorff nulla (questo teorema è dimostrato nel lavoro originale di Leray);
  • le costruzioni realizzate finora nella teoria “mia e di László” sono tutte (relativamente) irregolari in almeno un aperto spaziotemporale.

D’altra parte non ci sono solo segnali scoraggianti: con una dissipazione meno forte (un Laplaciano frazionario non troppo vicino a quello classico) si puó effettivamente mostrare la nonunicità di Leray–Hopf con questi metodi (lo abbiamo messo in rete a luglio Maria Colombo, Luigi De Rosa e io, sta qui).

6) Anche dopo aver fatto Leray–Hopf, per arrivare al problema del millennio ci sarebbe il problema del dato iniziale, che in tutte queste costruzioni di nonunicità è sempre irregolare: decisamente un secondo salto concettuale, secondo me.

In conclusione, è una direzione eccitante e siamo ancora lontani dal problema del millennio. Ma francamente questo mi sembra del tutto secondario. Non c’è dubbio che si sono aperte delle prospettive totalmente inaspettate nella materia e che capiamo cose che non capivamo prima. Come poi dici giustamente anche tu, sembra anche avere delle conseguenze eccitanti in teoria della turbolenza.

Ciao e a presto,

Camillo

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