Lacci da scarpe e cravatte

On March 21, 2011

I matematici adorano i problemi presi dalla vita pratica che siano facili a formularsi. Spesso succede infatti che siano anche i più difficili a risolversi, e quindi i più interessanti. Per questa ragione può nascere un notevole entusiasmo per problemi apparentemente banali, come trovare il modo migliore di allacciarsi le scarpe!

 

(tradotto, con il permesso dell'autore, da “Figuring It Out: Entertaining Encounters with Everyday Math” di Nuno Crato, Springer; 1st Edition. edition (October 8, 2010), 227 pagine (in Inglese); ISBN-10: 3642048323.)

I matematici adorano i problemi presi dalla vita pratica che siano facili a formularsi. Spesso succede infatti che siano anche i più difficili a risolversi, e quindi i più interessanti. Per questa ragione può nascere un notevole entusiasmo per problemi apparentemente banali, come trovare il modo migliore di allacciarsi le scarpe!

Gli schemi di allacciamento delle scarpe sono stati studiati per la prima volta dal matematico John Halton, che li vedeva come casi particolari del celebre problema del commesso viaggiatore, un problema matematico difficile e molto studiato ispirato da un'altra situazione reale: un commesso viaggiatore vuole passare attraverso un certo numero di città, visitando ognuna soltanto una volta, ma i suoi punti di arrivo e partenza sono fissati. Il cammino dei lacci delle scarpe è equivalente alla strada perscorsa dal commesso viaggiatore, con gli occhielli della scarpa al posto delle città. Il cammino più corto per i lacci è equivalente a determinare la strada più breve fra tutte le città.

Questo problema è stato di nuovo considerata dal matematico australiano Burkard Polster in uno studio pubblicato nel 2002 su Nature, una delle principali riviste scientifiche del mondo. Polster ha studiato in modo sistematico i vari modi di allacciarsi le scarpe. Apparentemente, sembrerebbe ci siano solo uno o due modi di allacciarsele. Invece, persone di culture diverse tendono ad allacciarsi le scarpe in modi abbastanza diversi. Per limitarci a due soli esempi, pensate ai diversi metodi usati in USA e in Europa. Negli Stati Uniti, i lacci sono di solito allacciati facendo degli zigzag contrapposti, e visti dall'altro sembrano incrociarsi, mentre in Europa sono allacciati con degli zigzag alternati in tal modo che gli occhielli sembrino essere congiunti orizzontalmente dai lacci, se visti da sopra. C'è anche il metodo usato nei negozi di scarpe, in cui i lacci fanno uno zigzag continuo dalla cima al fondo e quindi risalgono in diagonale. Quale di questi metodi pensate sia il più efficiente?

La prima cosa strana e che in realtà ci sarebbe un numero incredibile di modi di allacciarsi le scarpe. Per scarpe con due file di cinque occhielli ciascuna, per esempio, Polster trovò che ci sono 51.480 modi diversi di allacciarsele. Questo numero diventa dell'ordine dei milioni, se aumentano gli occhielli. Polster si limitò a considerare i modi di allacciarsi le scarpe che usano tutti gli occhielli e tali che, tirando i lacci, tutti gli occhielli si avvicinino. Per esempio, i lacci non possono passare per tre occhielli successivi dallo stesso lato, perché questo non permetterebbe di rispettare la condizione di avvicinamento sull'occhiello centrale dall'altra parte.

A questo punto, Polster introdusse dei criteri supplementari di efficienza, richiedendo che la sicurezza dell'allacciamento dovesse essere massimizzata, minimizzando però allo stesso tempo la tensione dei lacci. Confrontando i tre sistemi di allacciatura precedentemente descritti, Polster verificò che il più efficiente è il metodo americano, e il secondo miglior sistema dipende dal numero delle coppie di occhielli. Se ce ne sono quattro o più, il metodo Europeo è superiore a quello dei negozi di calzature, per tre coppie di  occhielli sono uguali, e con una o due coppie di occhielli il problema è banale e tutti e tre i metodi coincidono. Se provate a verificarlo in pratica, vedrete che è molto semplice. Tuttavia, Polster non si limitò a studiare soltanto questi tre metodi. Tenendo conto dei vincoli che si era imposto, analizzò il problema completo e scoprì che il metodo più efficiente non è, alla fine, nessuno dei tre usati comunemente. Trovò invece un metodo meno conosciuto di allacciare le scarpe, chiamato “a cravattino” (bow-tie), che sembra essere il più efficiente di tutti.  Considerando invece solo la massima sicurezza dell'allacciatura, non trovò nessun metodo strano. In questo caso, il metodo americano e quello dei negozi di calzature sono i migliori. Quando le file di occhielli sono lontane, il sistema dei negozi di calzature è il migliore. Quando sono vicine, è meglio il sistema americano.

Polster fu probabilmente ispirato per questo lavoro matematico sui lacci delle scarpe da una ricerca altrattanto curiosa pubblicata alcuni anni prima dai fisici computazionali Thomas Fink e Yong Mao, che consideravano i vari modi di fare il nodo a una cravatta. Questa ricerca fu raccolta in un libro pubblicato da questi due autori nel 1999, intitolato “Gli 85 modi di fare il nodo alla cravatta: scienza ed estetica dei nodi della cravatta”. Il loro studio comincia con una breve storia delle cravatte e quindi passa ad esplorare la teoria matematica dei nodi. I due fisici cercarono di identificare ogni possibile tipo di nodo, limitandosi a quelli che si possono allacciare in meno di 10 mosse. Anche così, trovarono 85 modi diversi di allacciare una cravatta. Il più semplice richiede solo tre mosse. Partite mettendo la cravatta con la parte esterna verso la camicia, e il numero dispari di giri garantisce che finirete con la parte esterna verso l'esterno, come dovrebbe essere. Questo si chiama il “nodo orientale” ed è raramente usato con abiti occidentali. Dopo c'è un nodo in quattro mosse, che è quello usato dalla maggior parte delle persone. Le cose diventano un po' più complicate quando il numero di mosse aumenta. Uno dei nodi più impressionanti con otto mosse è il nodo alla Windsor, in realtà mai usato dal Duca eponimo, ma che è simile ai nodi voluminosi che questi era abituato ad indossare. Torna comodo quando si vuole ottenere un nodo di grande volume. Molti altri nodi sono descritti nel libro. Insomma, non importa che un nodo sia di moda o meno, ma potrete essere sempre certi che la matematica potrà descriverlo.

 

 

 

Nuno Crato è professore ordinario presso l'Università Tecnica di Lisbona e ricercatore del Centro per la Matematica Applicata all'Economia. La sua ricerca è centrata sui modelli statistici e probabilistici con varie applicazioni, tra cui serie temporali in finanza, comportamento di algoritmi probabilistici e analisi statistica del DNA. Ha fatto parte del Direttivo della Società Matematica Portoghese per 10 anni a ne è stato Presidente dal 2004 al 2010. Fa anche parte del Comitato per la Divulgazione della Matematica dell'European Mathematical Society. I suoi lavori divulgativi in matematica sono stati tradotti e pubblicati in Italiano e in Inglese. Recentemente è stato nominato Amministratore delegato di Taguspark, il più grande parco scientifico e tecnologico del Portogallo.

 

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