Da circa 8 anni si parla molto di una serie di risultati matematici in grado di risolvere molti problemi aperti in teoria dei numeri, che sarebbero stati ottenuti dal matematico giapponese Shinichi Mochizuki, ma non ancora accettati dalla comunità scientifica internazionale. Ora stanno per essere finalmente pubblicati, ma gli esiti della vicenda sembrano ancora poco chiari. Francesco Polizzi ci spiega meglio la vicenda.

Nel 2012, il matematico giapponese Shinichi Mochizuki, professore all’Università di Kyoto, pubblicò sulla sua pagina web una serie di quattro preprint nei quali introduceva alcune nuove costruzioni in Geometria Aritmetica, da lui chiamate Inter-Universal Teichmüller theory (IUT) o Arithmetic Deformation Theory .

L’interesse della comunità matematica nei confronti della IUT fu subito enorme ^{[1 ]}P. Ball: Proof claimed for deep connection between primes, Nature (2012), in quanto Mochizuki la utilizzava per ottenere una dimostrazione della Congettura \(abc\) (in realtà, di una sua versione geometrica nota come Congettura di Szpiro), uno dei più importanti problemi aperti in Geometria Diofantea, che a sua volta implica, fra i tanti altri risultati, una dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat indipendente da quella di Andrew Wiles.

Alcuni giunsero ad affermare che il tour de force di Mochizuki era per la Matematica una svolta epocale, paragonando il giapponese allo stesso Wiles, a Grigori Perelman (a cui si deve la dimostrazione della congettura di Poincaré) e a Yitan Zhang (che ha compiuto passi da gigante verso la Congettura dei Primi Gemelli con i suoi articoli sui numeri primi a dista1065
nza limitata).

Tuttavia, ci si rese rapidamente conto che il paragone non reggeva. I lavori di Wiles, Perelman, Zhang, per quanto tecnicamente molto complessi, erano comunque basati su matematica ben nota agli esperti; essi vennero subito studiati in dettaglio dalla comunità scientifica di riferimento e, alla fine, accettati come corretti. In relativamente poco tempo, altri matematici li generalizzarono e ne semplificarono alcune parti, scrivendo dei survey e rendendoli, almeno nelle loro linee generali, accessibili anche ai colleghi non specialisti del settore. Inoltre, Wiles, Zhang e Perelman (quest’ultimo, almeno all’inizio) tennero numerose conferenze e seminari in giro per il mondo, allo scopo spiegare il significato dei loro risultati, disseminare le loro tecniche e, soprattutto, delucidare la strategia che sta alla base delle loro dimostrazioni.

Nel caso di Mochizuki, la situazione appariva ben diversa. Sin dall’inizio, leggendo i suoi preprint, gli esperti di Geometria Aritmetica si trovarono di fronte ad una giungla impenetrabile di nuove definizioni e concetti (“Hodge Theaters”,“anabelioids”, “theta-links”), differente da tutto quanto avessero visto fino ad allora, tanto che alcuni parlarono di“matematica del futuro” o di “matematica aliena”. L’idea di fondo dei lavori (complessivamente, oltre 500 pagine densissime) rimaneva elusiva, e l’ostinato rifiuto di Mochizuki a partecipare a qualsiasi conferenza fuori dal Giappone non facilitava le cose.

Un’altra caratteristica del lavoro di Mochizuchi, che lo rende radicalmente diverso da quello degli altri matematici citati sopra, è che nessuno finora è stato in grado di utilizzarlo sotto ipotesi meno generali di quelle del set-up di partenza in modo da dedurne risultati magari meno forti della Congettura \(abc\), ma più semplici da dimostrare. Come ammette lo stesso Mochizuki, siamo di fronte ad una situazione di “tutto o niente”: o si ottiene la Congettura \(abc\), utilizzando la IUT alla piena potenza, oppure non si ottiene nulla.

Uno degli sponsor più entusiasti di Mochizuki è il matematico russo Ivan Fesenko, dell’Università di Nottingham, che ha co-organizzato due importanti workshop sulla IUT, uno a Oxford (dicembre 2015) e uno a Kyoto (luglio 2016), ai quali parteciparono oltre 100 esperti di Geometria Aritmetica e Teoria dei Numeri. Entrambi gli incontri furono sostanzialmente un flop.

A Oxford, Mochizuki non si presentò, ma si limitò a rispondere alle domande via Skype. Un chiaro e appassionante resoconto del workshop si trova nel blog post  di B. Conrad ^{[2 ]}B. Conrad: Notes on the Oxford IUT workshop (si veda anche ^{[3 ]}D. Castelvecchi: The biggest mistery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof, Nature 526, 178-181 (2015)); in esso si percepisce chiaramente il passaggio dalla speranza alla delusione e, infine, alla frustrazione sperimentato dai partecipanti all’incontro.

A Kyoto, invece, Mochizuki era presente ma, ancora una volta, non riuscì a spiegare in modo soddisfacente l’idea alla base della sua teoria^{[4 ]} D. Castelvecchi: Monumental proof to torment mathematicians for years to come, Nature 536, 14-15 (2016).

Nel 2018 avviene il colpo di scena: i due matematici tedeschi Peter Scholze (a cui viene assegnata la medaglia Fields lo stesso anno) e Jacob Stix visitano Mochizuchi e il suo collega Yuichiro Hoshi a Kyoto per discutere di persona la dimostrazione di Mochizuki. Si trattengono una settimana, che descrivono come “very special”, e il risultato è una relazione dall’eloquente titolo “Why \(abc\) is still a conjecture” ^{[5 ]}P. Scholze, J. Stix: Why abc is still a conjecture (2018) , si veda anche l’interessante articolo divulgativo ^{[6 ]}E. Klarreich: Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture, Quanta Magazine (September 2018).

Secondo Scholze e Stix “non c’è nessuna dimostrazione”, in quanto è presente un “errore insanabile” nel Corollario 3.12 del terzo preprint di Mochizuki: un diagramma, che dovrebbe commutare, in realtà lo fa solo a meno di un fattore correttivo, il che trasforma una diseguaglianza cruciale in una diseguaglienza banale, e quindi inutile.

Come c’era da aspettarsi, se Mochizuki non è stato in grado di convincere Scholze e Stix della correttezza del suo argomento, neanche questi ultimi hanno avuto successo nell’impresa opposta: infatti, Mochizuki ribattè alla relazione dei due con una contro-relazione di 45 pagine^{[7 ]} S. Mochizuki: Report on discussions, held during the period March 15-20, 2018, Concerning inter-universal Teichmüller theory (2019), nella quale sosteneva che la confutazione di Scholze e Stix era basata su una loro “fondamentale incomprensione” dei principi della IUT.

Secondo Mochizuki, una settimana di tempo non è sufficiente per comprendere a fondo la sua teoria, che richiede invece mesi o anni per essere padroneggiata. In particolare, affermava il matematico giapponese, Sholze e Stix non si sarebbero resi conto che alcune drastiche semplificazioni da loro effettuate non erano invece lecite, il che rendeva senza fondamento le loro obiezioni.

La contro-relazione di Mochizuki, oltre ad una estesa parte tecnica, contiene anche delle considerazioni dal tono piuttosto discutibile e perfino degli attacchi personali al limite dell’incredibile: ad esempio, a p. 43 si può leggere (il grassetto è dello stesso Mochizuki):

“In light of this state of affairs, it should not be surprising that my oral explanations, over the past few months, to various colleagues involved in (Vrf1), (Vrf2) of the misunderstandings summarized in §17 were met with a remarkably unanimous response of utter astonishment and even disbelief (at times accompanied by bouts of laughter!) that such manifestly erroneous misunderstandings could have occurred…”

“…the flaws in IUTch that are alleged in (SSId), (SSAD) — i.e., which correspond to the most central aspects of the misunderstandings summarized in §17 — are so utterly pronounced and conspicuous in their absurdity that it is very difficult to believe that such flaws could have remained undetected by any competent mathematician for even a few minutes, let alone throughout the duration of the intensive verification activities (cf. (Vrf1), (Vrf2)) by quite a number of talented mathematicians that have been carried out over the years since August 2012.”

Se gli attacchi “ad hominem” e l’enfasi posta su quanto tempo il matematico X abbia studiato la IUT lasciano il tempo che trovano, ben più scalpore ha suscitato pochi giorni fa la notizia che i lavori di Mochizuki verranno pubblicati sulla rivista giapponese Publications of the RIMS, di cui Mochizuki stesso è chief editor^{[8 ]}D. Castelvecchi: Mathematical proof that rocked number theory will be published, Nature (2020). Nonostante Mochizuki non sia stato coinvolto personalmente nel processo di peer-review e quindi, strettamente parlando, non si configuri un conflitto di interesse, questa decisione è senz’altro peculiare e, per certi versi, imbarazzante.

Di fatto, Mochizuki non ha tenuto in alcun conto le obiezioni di Scholze e Stix, e i redattori della rivista hanno accettato i preprint senza sostanziali modifiche. Stix ha deciso di non commentare ulteriormente, mentre Scholze ha ribadito la sua posizione, ad esempio in un commento sul blog Not even wrong di Peter Woit.

Anche se la conferma ufficiale che i lavori di Mochizuki compariranno su PRIMS è molto recente, i rumors a riguardo circolano da parecchio tempo. Già a dicembre 2017, Frank Calegari dell’Università di Chicago scriveva sul suo blog che la situazione riguardo la comprensione della IUT era “a complete disaster” e che il processo di peer-review

“…has been a complete failure, calling into question both the quality of the referee work that was done and the judgement of the editorial board at PRIMS to permit papers in such an unacceptable and widely recognized state of opaqueness to be published. We do now have the ridiculous situation where ABC is a theorem in Kyoto but a conjecture everywhere else.”

Come osservato giustamente da D. M. Roberts^{[9 ]} D. M. Roberts: A crisis of identification, Inference 4 (3) (2019), siamo di fronte ad un caso forse senza precedenti nella storia della Matematica, almeno a questi livelli. La stragrande maggioranza degli esperti non comprende il lavoro di Mochizuchi o lo considera errato, mentre un certo numero di studiosi (che comprende, oltre a Moshizuchi, anche Ivan Fesenko, Go Yamashita e Yuichiro Hoshi) afferma di avere studiato a fondo la IUT e giura che questa sia corretta. Tuttavia, il secondo gruppo, per qualche arcano motivo, non appare in grado di trasmettere la propria conoscenza al primo.

A questo punto, vi sono due possibili scenari. Il primo è che si rimanga in una situazione di stallo e la IUT cada alla fine nel dimenticatoio, come è avvenuto, ad esempio, con la presunta dimostrazione dell’Ipotesi di Riemann annunciata nel 2008 da Louis de Branges. Il secondo è che Mochizuchi o (più probabilmente) qualcun altro riscriva prima o poi le idee fondamentali della IUT in una forma che sia comprensibile al resto della comunità, in modo che si possa finalmente stabilire se essa funziona o meno.

Un ulteriore scenario è che Mochizuki dica il vero quando afferma che il suo modo di presentare la IUT sia il quadro teorico naturale in cui dimostrare la Congettura \(abc\), solo che tutti gli altri non sono ancora pronti per capirlo. In tal caso, il tempo gli darà (forse) ragione.

Francesco Polizzi
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA
polizzi@mat.unical.it

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.