FBI e wavelets

On May 10, 2011

Il linguaggio della matematica può sembrare esoterico e puramente astratto, ma molte delle sue costruzioni finiscono per avere applicazioni sorprendeti. Uno dei più recenti e spettacolari successi della matematica ha avuto luogo nel trattamento dei segnali, e in particolare nel trattamento delle immagini. Questa nuova tecnica ha un nome un po' strano: analisi delle wavelets.
Come sempre, questo nuovo strumento non è caduto dal cielo: le sue origini posso essere fatte risalire al lavoro del matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), che creò una tecnica conosciuta come “analisi armonica”, o più comunemente, analidi si Fourier. Da giovane, Jean Baptiste studiò all'accademia militare di Auxerre, la sua città natale, dove stette, ricevendo un'educazione matematica. Più tardi entrò in seminario con l'idea di diventare monaco, ma proprio allora ci fu la Rivoluzione francese. Lentamente, cominciò a supportare il movimento rivoluzionario, e alla fine si dichiarò pronto a lottare per un governo libero, liberato dalla monarchia e dal clero. Nel trambusto della rivoluzione, fu però fatto prigioniero e per poco non fu condannato a morte. In seguito, cominciò a insegnare a Parigi e accompagnò Napoleone nella sua campagna d'Egitto, come componente del suo comitato scientifico. Tornato in Francia, fu nominato prefetto del dipartimento dell'Isère, lavorò all'Istituto di statistica, e fu eletto membro dell'Accademia delle Scienze di Parigi.

Il più importante lavoro di Fourier, La Théorie Analytique de la Chaleur (La teoria analitica del calore) è una delle pietre miliari della scienza del XIX secolo. Fourier stupì i suoi contemporanei, affermando che ogni funzione poteva essere rappresentata come la somma di onde, ossia, dalla somma delle ben note funzioni trigonometriche seno e coseno, le onde sinusoidali. Sosteneva che era spesso più facile operare matematicamente con la somma di onde che con le funzioni originali, e che le somme di quel tipo erano equivalenti alle funzioni iniziali, se si addizionavano un numero sufficiente (eventualmente infinito) di elementi. Venne fuori che questa idea abbastanza strana, era capace di fare molte cose. I matematici sono arrivati a basarsi sull'analisi di Fourier per risolvere molti problemi che sarebbero stati impossibili con altri mezzi.

Nel 1965, grazie al lavoro di James Cooley e John Tukey presso i Bell Laboratories nel New Jersey, l'idea di Fourier diventò un tecnica molto pratica. Cooley e Tukey crearono un nuovo algoritmo per calcolare le serie di Fourier, e lo chiamarono la Fast Fourier Transform o FFT (Trasformata di Fourier Rapida). Oggi la FFT si usa in moltissimi campi, dall'analisi dei segnali radio alle previsioni economiche allo studio clinico delle onde cerebrali. Il matematico Gilbert Strang del MIT, disse a questo proposito che “intere attività sono passate dalla lentezza alla velocità usando quest'unica idea, che è matematica pura”

Più recentemente, negli anni '70 e '80, vari ingegneri e matematici cominciarono a cercare di risolvere certe limitazioni pratiche delle serie di Fourier. Per esempio, se volessimo codificare uno dei concerti di Bartok usando onde sinusoidali, avremmo bisogno di un numero enorme di tali onde, perché il concerto ha dei cambiamenti bruschi, mentre le onde continuano fino all'infinito. Matematicamente, questo vuol dire che un numero gigantesco di coefficienti è richiesto per rappresentarlo correttamente. Ciò è molto poco pratico per gli scopi della registrazione digitale. La tecnica di Fourier è invece perfetta per registrare un momento specifico del concerto. Per ricreare il suono orignale dovete solo sintetizzare le varie frequenze, le diverse note, e riprodurre i timbri dei vari strumenti, che sono aggiunti a queste note. Ma, poiché le note fluiscono costantemente, usare le onde per registrare l'intero concerto non è proprio possibile in pratica.

L'idea che ebbero alcune persone fu allora di creare delle mini-onde con un preciso inizio, parte media e fine, e usare queste mini-onde per analizzare il segnale originale. Yves Meyer, dell'École Polytechnique in Francia, e Ingrid Daubeschies, una matematica belga che all'epoca lavorava ai Bell Laboratories, hanno avuto un ruolo determinante nello sviluppo di questa idea. Un nuovo strumento matematico era nato. In Francia le nuove funzioni erano chiamate “ondelettes”, ondine, e in inglese e un po' ovunque sono ora conosciute come “wavelets”.

Quando l'FBI chiese a un gruppo di matematici come era lavorare meglio all'enorme archivio di impronte digitali posseduto dall'agenzia federale, questi proposero le wavelets. L'FBI ha immagazzinato impronte digitali a partire dal 1924. Dal 1996 il loro archivio contiene 200 milioni di files, e continua a crescere al ritmo di quasi 50.000 nuovi files ogni giorno. Quando l'FBI cominciò a trasmettere elettronicamente delle immagini dell'archivio, osservarono che il sistema che usavano era molto lento, e che le immagini dovevano essere compresse per poter essere trasmesse in modo corretto. Il formato JPEG, il sistema di compression più usato comunemente su internet, producva un'immagine molto sgranata. Quando una forte compressione dell'immagine era necessaria, i dettagli sparivano e la transizione netta tra le linee veniva sfocata. Dopo un gran lavoro di trattamenti matematici e molti esperimenti con i consulenti matematici, l'FBI decise di passare al sistema basato sulle wavelets per comprimere le immagini. Crearono allora una nuova wavelet speciale adatta per riprodurre le impronte digitali, che rese possibile ottenere riduzioni importanti della dimensione dei files. Un altro successo della matematica.

di Nuno Crato

Tradotto, con il permesso dell'autore, da “Figuring It Out: Entertaining Encounters with Everyday Math” di Nuno Crato, Springer; 1st Edition. edition (October 8, 2010), 227 pagine (in Inglese); ISBN- 10: 3642048323.

Nuno Crato è professore ordinario presso l'Università Tecnica di Lisbona e ricercatore del Centro per la Matematica Applicata all'Economia. La sua ricerca è centrata sui modelli statistici e probabilistici con varie applicazioni, tra cui serie temporali in finanza, comportamento di algoritmi probabilistici e analisi statistica del DNA. Ha fatto parte del Direttivo della Società Matematica Portoghese per 10 anni a ne è stato Presidente dal 2004 al 2010. Fa anche parte del Comitato per la Divulgazione della Matematica dell'European Mathematical Society. I suoi lavori divulgativi in matematica sono stati tradotti e pubblicati in Italiano e in Inglese. Recentemente è stato nominato Amministratore delegato di Taguspark, il più grande parco scientifico e tecnologico del Portogallo.

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