Dimostrata la congettura ABC?

On November 8, 2012

La congettura ABC è una congettura molto generale della Teoria dei numeri. Se la congettura fosse vera, tanti problemi si risolverebbero: per esempio, la congettura ABC implica una buona parte dell'Ultimo Teorema di Fermat, un famoso risultato dimostrato da Andrew Wiles nel 1995. Cosa dice la congettura ABC?

 

 

di Rene Schoof,

Professore di Geometria all'Università di Roma "Tor Vergata"

 

Per apprezzare la congettura, consideriamo prima qualche esempio. Ogni numero naturale è prodotto di fattori primi che possono essere piccoli o grandi. Per esempio:

82173645912385645370 = 2\times 5\times 17\times 9199 \times52546405883239

Numeri grandi che ammettono soltanto fattori primi piccoli sono relativamente rari: per esempio, le potenze alte di 2 sono sparse. Quello considerato è un caso estremo, ma anche i numeri che sono divisibili soltanto per, diciamo 2, 3, 5 e 7, sono relativamente rari. Infatti, ce ne sono solo cinquemila sotto il miliardo: mediamente 1 su 200000. Trovare due numeri di questo tipo che sono vicini è quindi abbastanza difficile. Ecco un esempio

5^4 \times7 - 2\times3^7 = 4375 - 4374 = 1
Un esempio ancora più spettacolare, con fattori primi che sono minori o uguali di 23 è il seguente

 2^{21}\times23- 3^2\times5^6 \times7^3=48234496-48234375 = 11^2

La congettura ABC afferma che un fenomeno di questo genere è raro. Per arrivare a una versione precisa della congettura, cerchiamo di quantificare la nozione di un numero “che ammette soltanto fattori primi piccoli".

Si chiama radicale di un intero n, e si indica con rad(n), il prodotto dei fattori primi distinti di n. Per esempio, se n=3^2\times5^6\times7^3, allora rad(n) =3\times5\times7. Si dice che n ammette “soltanto fattori primi piccoli" se è molto più grande del proprio radicale rad(n)

La congettura ABC afferma che se a, b, c sono numeri naturali tali che

 a+b=c
allora non possono tutti e tre avere soltanto fattori primi piccoli. Più precisamente

Per ogni numero reale r>1, esiste una costante C>0 con la proprietà che non esistono tre numeri (a,b,c) con a+b=c per cui max(a,b,c)>C rad(abc)^r

La congettura è quindi un po' più generale. Non dice soltanto che le differenze c - a e b - a non possono essere troppo piccole, ma anche che la differenza non può avere soltanto fattori primi piccoli. L'importanza della congettura ABC sta nel fatto che implica che tante equazioni diofantee (ossia quelle che hanno come soluzione dei numeri naturali) hanno soltanto un numero finito di soluzioni. Consideriamo per esempio l'equazione

 n!+1=x^2

dove x e n sono numeri naturali. Se ne conoscono alcune soluzioni, come
 4!+1=5^2, \ 5!+1=11^2,\ 7!+1=71^2

Ce ne sono altre? Non si sa. Probabilmente no: la congettura ABC non dimostra che non ci sono altre soluzioni, ma almeno implica che le soluzioni sono solo un numero finito. In questo caso si ha infatti che se poniamo a=x-1, b=2, c=x+1 (e quindi siamo nella condizione a+b=c), allora, poiché il prodotto n!= x^2-1= (x-1)(x+1), sia i fattori primi di x-1 che quelli di x+1 sono al più n, il quale è molto piccolo rispetto a n!.

Siamo dunque nelle ipotesi della congettura ABC, e allora le soluzioni dell’equazione non potrebbero essere infinite, perché se così fosse la congettura sarebbe violata.

Il matematico giapponese Shinichi Mochizuki ha inserito quattro articoli nella sua home page dal titolo Interuniversal Teichmüller Theory I, II, II e IV. Per chi non ha mai sentito parlare di Inter-universal Teichmüller Theory non c’è motivo di preoccuparsi. Si tratta di una terminologia personale di Mochizuki, svilluppata negli ultimi anni lavorando proprio sulla congettura ABC. Sono veramente in pochi ad aver letto e capito gli ultimi lavori di Mochizuki. A chi prova a leggere la sua dimostrazione, sembra che si tratti di matematica extraterrestre. La terminologia è decisamente non standard e anche per gli esperti gli articoli sono difficili da leggere. Ci vorrà quindi un po' tempo prima di poter decidere se la dimostrazione di Mochizuki sia valida o meno.

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