Creatività ed estetica: un ponte tra matematica e arte

On November 17, 2009

Come fare per rendere lo studio della matematica più familiare e accattivante, e riuscire a presentarlo come divertente e vivo? Puntando ad esempio, con allievi del triennio delle scuole superiori, sulla geometria, sulle simmetrie e sulle trasformazioni del piano e dello spazio per realizzare un laboratorio matematico-artistico che, da un lato, avvicinasse facilmente agli aspetti intrinsecamente connessi alla bellezza della matematica e dall’altro servisse a introdurre l’algebra lineare astratta...

Molti matematici sono determinati nel credere che questa sia connessa alla bellezza, alla creatività , a un forte senso estetico, anche se non sempre riescono a trasmettere questa percezione al grande pubblico e,  in particolare, ai giovani allievi dei diversi livelli scolastici che stanno maturando una scelta universitaria consapevole.

Come fare per rendere lo studio della matematica più familiare e accattivante, e riuscire a presentarlo come divertente e vivo? In realtà, ovviamente, una vera e propria ricetta non c'è (ancora). Ci si prova tutti, noi docenti, con maggiore o minore successo. Si ecogitano percorsi alternativi attraverso i quali scoprire  il lato migliore  di questa materia, così ricca di terreni d’azione: se ne presentano aspetti nascosti in un’opera d’arte o in un semplice prodotto tecnologicamente avanzato che nasce proprio da applicazioni di suoi eleganti risultati teorici…e per fortuna talvolta si riesce a lasciarne qualche traccia!

Nel lavorare con allievi del triennio delle scuole superiori abbiamo puntato sulla geometria, sulle simmetrie e sulle trasformazioni del piano e dello spazio per realizzare un laboratorio matematico-artistico che, da un lato, avvicinasse facilmente  agli aspetti  intrinsecamente connessi alla bellezza della matematica e dall’altro servisse a introdurre l’algebra lineare astratta, che rimane uno strumento cruciale nella modellazione di problemi applicativi concreti provenienti da vari ambiti della vita di tutti i giorni.

E così siamo partiti da figure elementari, semplicissime come quadrati e triangoli o cerchi, proprio quelle citate da Galileo Galilei come linguaggio universale,  con lo stesso spirito di osservazione che aveva caratterizzato l’opera di Bruno Munari (1907-1998) dai suoi primordi futuristi alle sue macchine aritmiche, nelle quali una sequenza di movimenti ripetitivi veniva alterata da interventi casuali, fino alle sue  produzioni seriali degli anni ’60, che lo hanno reso protagonista dell’arte e del design  del Novecento. Bisogna sottolineare che la cultura di Munari era piuttosto profonda anche dal punto di vista matematico-scientifico, tanto da avere preso in esame anche la curva di Peano:  dal suo punto di vista qualcosa che sconquassava l’idea di punto-senza dimensione e di linea- monodimensionale, curva patologica capace di riempire una regione piana o di arrampicarsi nello spazio di una intera scatola cubica [2] .  Peano aveva stravolto l’idea intuitiva di curva dotata di retta tangente in ogni suo punto, introducendone una che non aveva tangente in alcun punto: quando Munari scrive non erano ancora maturi i tempi per parlare di frattali!

L’osservazione di forme elementari in tutto ciò che ci circonda, dal triangolo ad un semplice  quadrato o cerchio, ci lega continuamente ad un preciso ambito scientifico del nostro vissuto e ci riporta al tempo stesso a conoscenze primarie, non per questo banali. Mi piace sempre sottolineare  che il triangolo è  protagonista della modellazione numerica con elementi  finiti, e… si rimane sempre sulla scia di quanto espresso da Galileo!

In recenti esperienze didattiche con ragazzi in uscita dal quarto anno delle superiori, il quadrato ha forse avuto la meglio: sulla semplice figura a quattro lati e a quattro angoli eguali i ragazzi  hanno applicato  trasformazioni  nello spazio 2D o 3D quali traslazioni, rotazioni e riduzioni  e, dopo avere appreso come si possa procedere in modo virtuale  attraverso  un software di facile utilizzo, sono passati a tradurre manualmente in concreto le stesse operazioni, arricchendone gli effetti con la propria creatività e fantasia.

Sono nate originali opere d’arte  armoniose  e piene di colore, legate a matrici di trasformazione maneggiate dagli allievi con estrema facilità, modificate nei parametri con consapevolezza. I giovani artisti hanno utilizzato cartoncini colorati, ritagliati con molta precisione, hanno fatto scelte personali di colore a partire dai colori primari, ed  hanno connotato le opere in modo diverso ma sempre elegante. Hanno costruito cubi con lati di misura differente rispettando proporzioni di tipo vario, senza trascurare il rapporto aureo.  (Fig.1 – Quadrati; Fig.2 - Composizione con cubi e proiezioni laterali)

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Figura 1

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Figura 2

Molti lavori artistici sono stati ispirati dai quadrati magici, caratterizzati nelle loro principali proprietà nel corso di una semplice lezione introduttiva. Singoli studenti o piccoli gruppi di lavoro,  individuato  il proprio quadrato magico, hanno tracciato spezzate poligonali congiungendo i numeri in tabella con un criterio personalizzato, ottenendo una suddivisione della superficie quadrata. Le aree così definite sono state colorate in modi differenti secondo le scelte del team di lavoro;  sono così nati quadri quadrati astratti molto gradevoli, esteticamente bilanciati sia nel colore sia nelle forme.  …magia del quadrato!? …creatività  del team?! … o ( ci piacerebbe crederlo) un nuovo entusiasmo nel vivere in modo differente l’apprendimento di nozioni matematiche!?

Per comprendere come  i risultati visivi siano stati molto soddisfacenti, si vedano  alcune immagini allegate ( Fig.3 – Quadrato magico ed elaborazione);  ad alcune opere  gli autori hanno anche attribuito titoli significativi scaturiti dal proprio sentire (Fig 4a- Fanciulla al tramonto; Fig 4b- La mistica confusione del pari e del dispari). In questi ultimi esempi gli autori hanno abbandonato in parte  le linee rette per servirsi di curve: nel percorso didattico durato una settimana erano state introdotte le linee in forma parametrica, sottolineando alcuni  legami interdisciplinari, ad esempio con la fisica (moto di un punto: posizione, velocità, accelerazione; percorsi cruciali come cicloide, ipo/epi-cicloide, ecc.)  o con la biologia (spirali piane, eliche cilindriche e coniche, ecc.) o con l’architettura.

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Figura 3

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Figura 4a

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Figura 4b

Per evidenziare simmetrie traslazionali sono stati composti fregi, catalogati in base alle trasformazioni dell’elemento base (Fig.5). Gli allievi sapranno in futuro disegnare  un segnale  rappresentato a tratti e  riprodotto in modo periodico come funzione pari o dispari, per associare poi allo stesso uno sviluppo in seni e/o coseni secondo Fourier?  E’ un passaggio cruciale nelle telecomunicazioni!... e il messaggio è stato dato.
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Figura 5
La simmetria speculare è stata attualizzata nella preparazione di matrici incise e/o preparate con collage materici, per realizzare stampe cromatiche mediante un piccolo torchio calcografico.

L’impegno sta nel pensare a rovescio e soppesare la validità del risultato sia nella forma sia nel colore: difficile cimentarsi con una razionale manualità leonardesca!

La fase più divertente è stata la colorazione della tavoletta, con rullo e colori, e ne sono nate tante coppie di opere d’arte, tutte esteticamente attraenti: un esempio dall’esposizione organizzata per un momento corale conclusivo.  (Fig.6: Coppie).

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Figura 6

I ragazzi erano tutti molto soddisfatti dell’esperienza; si sono divertiti e spesso hanno anche  chiesto approfondimenti matematici  e lezioni a tema.

Stimolate le loro capacità intellettuali, creative e manuali a partire dalla Matematica, i giovani allievi possano essere nuovi messaggeri per diffondere  opinioni positive sulla nostra materia.

Luisa Rossi Costa
Laboratorio FDS (Formazione Matematica e Sperimentazione Didattica), Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano

[1] R.Betti, E.Marchetti, L.Rossi Costa (a cura di)  SIMMETRIA: una scoperta matematica- 2007, Polipress – Politecnico di Milano
[2] B.Munari IL QUADRATO - La scoperta del quadrato – 1960, Scheiwiller, Milano

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