Benoit Mandelbrot: dai cavolfiori ai segreti cosmici

On November 9, 2010

Ian Stewart scrive per il Telegraph un tributo alla memoria di Benoît Mandelbrot, che ha scoperto la formula per spiegare la bellezza del mondo intorno a noi

 

«Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste di un’isola non sono cerchi e le cortecce non sono lisce, e nemmeno i fulmini viaggiano secondo una linea dritta». Con queste parole pionieristiche, l’ uomo delle idee Benoît Mandelbrot, che è scomparso il 14 ottobre scorso all’età di 85 anni, lanciò un manifesto scientifico – un nuovo campo per la matematica, un nuovo modo di pensare al mondo naturale e una moltitudine di ragioni per cui entrambi i campi ne avevano bisogno.

Diede alla sua brillante idea un nome evocativo: frattale. Oggi, i frattali sono delle icone. Hanno superato i confini della matematica e la loro presenza si registra nell’arte, nella musica, nei settori finanziari e linguistici. I frattali hanno ispirato exhibit museali, attività matematiche  a scuola, e conferenze di ricerca. E si applicano a ogni cosa, dai cavolfiori alla struttura dell’universo, rivelando il segreto della armonia interna della natura. Le nostre menti rispondono istintivamente alla geometria frattale, forse perché ne siamo circondati e ci siamo evoluti per riconoscerla.

Il mio esempio preferito di frattali che si presentano naturalmente giace in qualcosa che potete comprare tranquillamente in un supermercato: i broccoli romani. Questo semplice vegetale alimenta profondi quesiti in biologia e matematica, a causa della sua forma stupefacente. La prima cosa che si nota è che è bitorzoluto. La successiva, è che queste sue ‘sporgenze’ si adagiano secondo uno schema di spirali che si intrecciano. Se poi si osserva più da vicino un singolo bitorzolo, si scopre che anche questo è a sua volta fatto di bitorzoli più piccoli che sono disposti secondo lo stesso schema di spirali che si intrecciano. E questo succederà con ogni bitorzolo via via più piccolo.

Fondamentalmente, quindi, il broccolo romano è “riempito” da una gran quantità di miniature di broccoli romani. Questa sorprendente caratteristica definisce la maggior parte delle comuni classi di frattali, che sono chiamati “auto-simili”. A prima vista, questo tipo di strutture sembrano inusuali, se non bizzarre, finché non si ritorna sul manifesto di Mandelbrot.
Un cielo nuvoloso ha nubi di varie dimensioni, piccole, grandi e medie. Non è possibile cogliere l’immagine del cielo nella sua interezza guardando solo a una sua piccola regione. La cima di una montagna non è un triangolo o una piramide: è un panorama più dentellato composto da picchi più piccoli, che a loro volta sono composti da picchi ancora più piccoli. Una linea costiera è formata da una serie di linee irregolari, che nascondono un segreto: ingrandendo ogni singola linea, se ne scorgono altre più piccole, che a loro volta sono fatte da altre linee irregolari più piccole.

La corteccia di un albero ha una struttura simile, con alcune scanalature profonde e altre superficiali. Lo stesso albero è ancora un esempio più chiaro: se si spezza un ramo, rispetto a questo, nella maggior parte dei casi, sembrerà un albero in miniatura. E’ in questo modo che funzionano i bonsai. E un gruppo di fulmini combina le irregolarità della linea costiera con le ramificazioni ripetitive degli alberi.

Una volta che ‘gli occhi della mente’ diventano sensibili alla geometria frattale, la si può vedere ovunque. Felci, cespugli, crateri della Luna, le fluttuazioni del mercato azionario, l’incidenza di grandi e piccole alluvioni, i movimenti delle rocce nelle profondità della Terra che causano i terremoti, anche l’arte astratta.

Ma queste somiglianze non sono altro che delle specie di giochi di parole visuali, oppure indicano una unità più profonda, una armonia nascosta nella natura? Mandelbrot era convinto che ci fosse questa armonia naturale, e si propose di dimostrare che aveva ragione.

Assemblando insieme alcuni pezzi e spunti di matematica pura, sconosciuti se non a esperti devoti, ha inventato nuovi concetti  o ha stimolato altri a inventarli a loro volta. Il suo sforzo non è stato quello di un matematico convenzionale. Non compaiono tecniche formali di teoremi e dimostrazioni. Il suo approccio alla matematica fu altamente visivo e altamente intuitivo.

Mandelbrot non fu un accademico convenzionale. Spese la maggior parte della sua vita lavorativa al Thomas J. Watson Research Center della IBM nello stato di New York. Ma non fu nemmeno un tipico ricercatore industriale. Non fu niente di tipico: fu unico.

Dieci anni fa, mia moglie ed io facemmo colazione con lui in un hotel di Santa Fe, in occasione di una conferenza di matematica finanziaria. Molte persone lo trovarono spinoso – liquidò senza tanti complimenti chiunque non capì che i frattali fossero importanti – ma quella mattina con noi fu gentile e affascinante. Era molto contento per il fatto che qualcosa che lui avesse immaginato molti anni prima (in matematichese, “congetturato”) era stato dimostrato con completo rigore logico. Faceva riferimento agli studi sul moto Browniano, un modello matematico di movimenti di piccole particelle in un fluido, causati dagli urti delle sue molecole.

Mandelbrot, a proposito di questo modello, aveva supposto una risposta sulla base di immagini del moto Browniano generate dal computer e aveva intuito la semplicità che sottostava i movimenti di questo modello. In quel momento, i matematici avevano confermato completamente la sua intuizione. Quelle idee si erano dimostrate così originali e importanti che uno dei ricercatori fu premiato con la medaglia Fields, l’equivalente matematico del premio Nobel.

Quello che mi impressionò fu la sua gioia per la soluzione del problema. Non l’aveva usata per dimostrare quanto era stato intelligente, ai tempi in cui l’aveva ipotizzata. Era semplicemente contento che qualcuno avesse superato le difficoltà matematiche di dimostrare che la sua congettura alla fine era corretta.

Mandelbrot era nato in Polonia. La sua famiglia fuggì in seguito al nazismo verso Parigi, dove studiò sotto i matematici Paul Lévy e Gaston Julia. Spinto da Lévy,  si dedicò al moto browniano. Gli sforzi pionieristici di Julia lo guidarono al suo forse più importante monumento, l’insieme di Mandelbrot. Era un insieme con una forma strana, che sembra un incrocio fra un gatto e un cactus, quasi il frutto di un incidente.

Ci arrivò in modo naturale seguendo una formula algebrica molto semplice: il trucco era applicare la formula ripetutamente e vedere come cambiavano i numeri. Mandelbrot fu meravigliato dalla forma che sarebbe potuta venir fuori e programmò un computer per disegnarla.

Si era nei primi anni della computer grafica e così quello che Mandelbrot ottenne fu un’immagine da una stampante con inchiostro molto scolorito. Il risultato era una specie di sciatto blob grigio con sullo sfondo alcuni puntini. Questi puntini erano solo sbafi di inchiostro o qualcosa di più? A un esame più ravvicinato, quegli ‘sbafi’ nascondevano al loro interno della copie della intera immagine – come dei baby-insiemi di Mandelbrot, che erano ospitati dentro i loro genitori.

L’insieme di Mandelbrot era un frattale. Si può zoomare in una regione di questo insieme in eterno, e a ogni livello si vedranno complesse forme geometriche, che in qualche modo ricordano l’arte psichedelica. Tutta questa complessità discende da una delle più semplici formule algebriche che esistano.

Questa scoperta portò una ampia catena di conseguenze. I matematici puri tentarono di districare i segreti dell’insieme di Mandelbrot. Gli esperti di computer grafica trovarono modi migliori per disegnarlo sistemando sullo sfondo bande colorate che facessero risaltare la sua struttura.
Col tempo, sono state conferite medaglie Fields a chi esplorasse i segreti dell’insieme di Mandelbrot. Arthur C. Clarke, famoso per il racconto che ha poi portato al film 2001:Odissea nello spazio diretto da Kubrick, e l’invenzione delle comunicazioni satellitari,è stato un fan dell’insieme di Mandelbrot, e ha presentato un video su di esso.

All’inizio, l’importanza e la significatività dei frattali è stata controversa. Era semplice accantonarli come niente più che un assemblaggio casuale e, comunque, come si poteva usare una teoria matematica del cavolfiore? Ma, man mano che gli scienziati e i matematici cominciarono a studiare meglio non solo la forma dei frattali ma anche i processi che li generavano, le connessioni diventavano via via più profonde. Un albero somiglia a un frattale perché cresce e si biforca secondo un processo frattale. Lo stesso vale per i processi che erodono le montagne o innescano i terremoti.

Per i frattali è stato anche trovato un uso tecnologico, in varie applicazioni come il design di antenne per la telefonia mobile e nei modi efficaci per comprimere le immagini video. Mandelbrot stesso spese gran parte degli ultimi dieci anni a trovare strutture frattali nei mercati monetari e usarle per spiegare come mai spesso si verificano grandi fluttuazioni.

Benoît Mandelbrot è appartenuto a quella linea matematica che risale fino a Pitagora, Keplero e Isaac Newton – visionari che hanno visto e trovato gli armoniosi e i semplici disegni che si nascondevano all’interno dell’apparente complessità della natura. Il suo lavoro è stato così influente che, per tanti scienziati in vari settori, i frattali sono ora una parte di routine del loro “kit” intellettuale. La Scienza e la matematica sono impoverite dalla sua perdita, ma sono state arricchite oltremisura dalla sua eredità.

 

di Ian Stewart

 

Ian Stewart è Professore Emerito di Matematica alla Università di Warwick
Il link all’articolo originale: http://www.telegraph.co.uk/culture/art/art-features/8080336/Benoit-Mandelbrot-from-cauliflowers-to-cosmic-secrets.html

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