Samuele Mongodi, ricercatore presso il Politecnico di Milano, ci propone una riflessione sulla didattica universtiaria della matematica che prende spunto da questa emergenza covid, ma che cerca di approfondire aspetti che non sempre vengono discussi.

Questo, credo, dovrebbe essere lo standard della didattica in matematica: dare buone abitudini. Ovviamente, mi riferisco alla maggior parte di tale didattica, che è indirizzata a persone che useranno la matematica, ma non “faranno” matematica, almeno non usualmente, nella loro carriera lavorativa, né tanto meno (spero) la insegneranno.

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La recente esperienza della didattica e, soprattutto, degli esami da remoto ha portato molti a ripensare l’insegnamento e la verifica di quanto appreso dalle nostre vittime, senza (ri)pensare all’aspetto fondamentale della faccenda: esattamente, cosa vogliamo che i nostri alunni apprendano?

È ovvio che c’è una risposta ipocrita, assolutamente utopistica ed inutile: la matematica. E grazie.. vi faccio alcuni esempi:
1) corso di Analisi I ad un’ingegneria – davvero ci aspettiamo che lo studente abbia *capito* le funzioni continue? o la compattezza (formulata un po’ come volete – Bolzano-Weierstrass, chiusi e limitati, ricoprimenti, …) ? E qui non intendo “sapere la definizione e le proprietà”, ma aver davvero capito cos’è e cosa non è la continuità, avere padronanza del concetto e dei suoi utilizzi…
2) corso di Algebra Lineare (dove volete) – davvero pretendete che lo studente comprenda l’idea di lineare indipendenza o quella di generatori? davvero davvero? suvvia…
3) corso di Analisi II – vabbeh, che lo dico a fare…serie di Fourier? formula di Stokes? campi conservativi e forme esatte? eddai…

È chiaro che la risposta è no. Perché altrimenti dovremmo bocciare anche noi stessi, ogni tanto. I matematici per primi sanno quanto spesso succeda di capire qualcosa di assolutamente ovvio a posteriori solo ad un certo punto, per una fortunata concorrenza di eventi. Inoltre, molti concetti matematici richiedono profondo studio e seria riflessione per essere davvero assimilati e compresi, uno sforzo che non è onesto richiedere a chi sta studiando la materia per acquisirne gli strumenti ed alcuni concetti di base, senza alcun interesse specifico nella materia stessa.

Quindi, cosa possiamo ragionevolmente richiedere ad uno studente?
Di aver sviluppato delle buone abitudini: che sappia gli algoritmi, sappia applicarli, sappia trattare i casi problematici, gli incidenti di percorso (denominatori che potrebbero annullarsi, radicandi che potrebbero essere negativi, forme indeterminate, etc etc), sappia anche come accorciare il percorso quando possibile.
Sebbene tutte queste competenze siano acquisibili in maniera meccanica e selettivamente sviluppabili sulla tipologia d’esame, è improbabile che questa strategia porti al 30 – al più garantirà una dignitosa sufficienza, ammesso di aver stilato un esame decente.

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D’altra parte, mi sembra un diritto sacrosanto dello studente sapere come verrà testato, in che forma ed in quali modi, incluso l’avere esempi delle prove d’esame a cui andrà incontro; è solo ovvio che lo studente si prepari “in vista dell’esame” e non studi “per capire e comprendere la materia”, è banale strategia di ottimizzazione. Anzi, è compito del docente trasmettere l’idea che la comprensione della materia sia un vantaggio nell’esame (ad esempio permettendo di riconoscere prima eventuali errori e di non portarseli dietro nello svolgimento, oppure fornendo strategie per risparmiare tempo ed evitare conti) e che alcune parti del corso non saranno diretto oggetto d’esame, ma sono necessarie ad arrivare alle altre su cui si verrà testati (del resto, non credo che divertirebbe particolarmente gli studenti di un corso di Algebra Lineare sapere che davvero ci sarà un esercizio su campi e spazi vettoriali, dello stesso livello di quello sulla diagonalizzazione…ci sono pietre che è meglio non sollevare, ben sapendo cosa si troverebbe lì sotto).

Inoltre, non tutti hanno la medesima prestazione in tipi diversi di esame: c’è chi rende meglio in uno scritto di 4 ore con 3 esercizi, chi in un orale, chi in un test a crocette, etc etc… ed il potersi allenare sulla tipologia di esame mi sembra una ragionevole richiesta e non (solo) l’espressione di un errore di impostazione nell’affrontare l’esame.

Alla fine di un esame, lo studente che passa con 18 avrà una vaga idea dei concetti, una sufficiente confidenza con gli algoritmi e le procedure operative più comuni della materia, un minimo di manualità con gli oggetti di studio della disciplina e una qualche comprensione “intuitiva” venuta dalla pratica. Insomma, lo studente che sa, senza bisogno di pensarci, che (AB)^t=(B^t)(A^t), magari non saprà poi dire il perché, però almeno sa fare i conti con la trasposta di una matrice… questo non giustifica un 30, ovviamente, ma, insieme ad altri piccoli fatterelli e consapevolezze (ed un po’ di bieco studio mnemonico) può far strappare un 18.

Ho visto di recente varie menzioni agli esami “open books” … bene, se questo vuol dire lasciargli usare i libri durante l’esame, beh, l’ho fatto anch’io nell’ultimo appello, non potendo sorvegliarli davvero; questo non ha minimamente cambiato la modalità dell’esame, che rimaneva una raccolta di 3 esercizi pratici divisi in punti da svolgersi per iscritto. Ma un esame “open books” vero, cioè uno che non chieda di fare cose che si potrebbero trovare pari pari in un libro (quindi niente esercizi di calcolo standard, niente domande di teoria “ovvie”) sarebbe l’incubo di ogni studente che, da non matematico (o fisico, via), deve affrontare un esame di matematica – un esame in cui si chieda di aver compreso i concetti e di saper giocare con definizioni e teoremi, che cerchi di determinare se si ha capito come funzionano gli algoritmi e cosa si fa quando li si applica. Decisamente troppo per chi ha seguito 3 mesi di corso, spesso compressi in meno ore del dovuto, senza possibilità, tempo, voglia, motivo di dedicare seria riflessione e concentrato approfondimento alle tematiche delle lezioni.

Che ne so: prendete una matrice nxn e mettete ovunque 1, tranne sulla diagonale, dove mettete 0; è diagonalizzabile? con che autovalori? e con che autovettori?
Bella eh, ma pensatevi studenti al primo anno….

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Purtroppo, il modo più sensato per capire davvero quanta comprensione della materia abbia sviluppato uno studente sembra rimanere un colloquio orale in cui c’è possibilità di fermare, chiedere spiegazioni, correggere il tiro, ma d’altra parte i corsi “di servizio” oceanici dei primi anni scoraggiano fortemente questa opzione.

Insomma, per quanto mi sembri lodevole che ci si interroghi sulla didattica della matematica, mi sembra assolutamente utopistico mettere l’asticella del superamento dell’esame in corrispondenza della comprensione dei concetti e delle meccaniche della disciplina, soprattutto in corsi “di servizio” e compressi dal punto di vista temporale, visto che certe cose richiedono tempo per sedimentare ed essere assorbite.
Comunque, temo che questa moda, come tante altre, rimarrà confinata in questi mesi di fase3, al massimo il prossimo anno; certo, sarebbe stupendo se la comunità matematica italiana iniziasse pragmaticamente ad interrogarsi su come e cosa stiamo insegnando, con quali obiettivi e con quali modalità di verifica.

Samuele Mongodi