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Recentemente mi sono imbattuto in questo esercizio per la classe terza della scuola primaria:

Viene chiesto, seguendo gli esempi, di disegnare tre poligoni con perimetro pari a 35 unità. Ma è possibile farlo, seguendo la griglia quadrettata?

No.

Proposizione 1. Un poligono con tutti i lati sulla griglia quadrettata ha perimetro pari (e almeno 4). Viceversa, per ogni numero pari \(2n\geq4\) c’è un poligono con tutti i lati sulla griglia quadrettata con perimetro \(2n\).

Dimostrazione. Un poligono ha il perimetro che è una linea chiusa. Seguendo il perimetro, ogni lato del poligono ha una lunghezza intera e si muove verso una delle quattro direzioni (alto, basso, destra sinistra). In una linea chiusa lo spostamento totale verso sinistra e verso destra sono uguali (diciamo \(a\geq1\)) così come lo spostamento totale verso l’alto e verso il basso (diciamo \(b\geq1\)). Il perimetro di tale poligono è \(2(a+b)\geq4\), che è pari, essendo \(a,b\) interi.

Viceversa, se \(2n\geq4\), allora il rettangolo di lati \(n-1,1\) soddisfa la richiesta.

\(\fbox{ }\)

Potremmo chiederci cosa succede abbandonando la richiesta che i lati siano sulla griglia quadrettata, ma che lo siano solo i vertici. Ovviamente in questo caso bisogna far uso del teorema di Pitagora per calcolare il perimetro ed è pertanto un problema fuori dalla portata dei bambini di terza primaria. Per amor di completezza trattiamo però anche questo caso. Può ovviamente capitare che il perimetro non sia intero. Ma se imponiamo che il perimetro sia intero, allora:

Proposizione 2. Un poligono con tutti i vertici su una griglia quadrettata e perimetro intero, ha perimetro pari.

Dimostrazione. Ogni lato del poligono ha lunghezza pari alla radice quadrata di un numero intero positivo, grazie al teorema di Pitagora. Se un lato ha lunghezza non intera, allora ha lunghezza irrazionale e di conseguenza anche il perimetro non ha lunghezza intera.

Pertanto ogni lato deve avere lunghezza intera. Ciò accade se e solo se il lato giace sulla griglia, oppure è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui lati formano una terna pitagorica. Modifichiamo la linea chiusa del perimetro del poligono sostituendo questa ipotenusa con i due cateti. Per un ragionamento elementare di parità, la parità della somma delle lunghezze dei cateti è uguale alla parità della lunghezza dell’ipotenusa. Pertanto tale operazione non modifica la parità della lunghezza della curva chiusa. Con un numero finito di queste sostituzioni, arriviamo ad una curva chiusa che giace sulla quadrettatura. La sua lunghezza ha la stessa parità del perimetro del poligono e, per la dimostrazione della Proposizione 1, è pari.

\(\fbox{ }\)

Pertanto la richiesta dell’esercizio non può essere assecondata neppure costruendo un poligono coi vertici sulla griglia e dobbiamo accontentarci di soluzioni di questo tipo:

Concludo con un’osservazione didattica. Capita che sui libri siano presenti errori: soluzioni sbagliate, errori di conto, definizioni imprecise o addirittura esercizi senza soluzione. Gli errori sono quasi impossibili da rimuovere. Quello che si può e si deve fare è sfruttare gli errori in primo luogo per far capire che il libro di testo (e l’insegnante) non sono immuni da errori e si può sempre pensare di metterli in discussione e in secondo luogo per far sperimentare un po’ di matematica agli studenti. La dimostrazione della Proposizione 1 è alla portata di uno studente di terza primaria e quella della Proposizione 2 alla portata di uno studente delle medie. Anzi, opportunamente guidati, possono provare ad esplorare il problema e giungere loro stessi ad una dimostrazione o perlomeno ad una argomentazione sul perché accade questo fenomeno.

Non male, come risultato per un esercizio sbagliato.


Ringrazio il gruppo facebook matematica alla primaria in cui mi sono imbattuto nel problema.

Alberto Saracco

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