Curiosità olimpiche 1 - Risolvere il problema senza leggere le ipotesi

On February 6, 2017
olimpiadimat
Inizia la nuova rubrica Curiosità olimpiche a cura di Alberto Saracco. Questa rubrica vuole raccogliere esercizi curiosi e particolari dal grande mare di esercizi che sono stati proposti in decenni di gare olimpiche, locali, provinciali, nazionali, individuali o a squadre. C'è un esercizio, problema o dimostrazione che secondo voi ha un qualcosa di unico? Segnalateceli!
1 - RISOLVERE IL PROBLEMA SENZA LEGGERE LE IPOTESI

Una delle capacità indubbiamente utili nei giochi matematici a risposta multipla (come i giochi di Archimede o le gare distrettuali delle Olimpiadi) è quella di escludere le risposte sicuramente sbagliate. Siccome i punteggi dati a risposte esatte, sbagliate e non date sono fatti in modo che tirando a indovinare la risposta o lasciando in bianco si abbia la stessa speranza matematica di punteggio, non appena riesco ad eliminare una risposta come certamente sbagliata, conviene tirare a indovinare.

Ovviamente il caso migliore è quando si riescono ad eliminare ben quattro risposte (certamente sbagliate) su cinque: così facendo abbiamo trovato la risposta giusta.

Il caso più curioso di questo tipo è sicuramente un problema della gara provinciale del 1998: un problema a cui si può rispondere semplicemente leggendo le risposte. senza leggere le ipotesi. Voi riuscite a farlo?

Problema.  Ipotesi noiosa che evitiamo di leggere. Quale delle seguenti affermazioni non può essere dedotta?

(A) c è intero

(B) a+b+c è intero

(C) a, b, c sono interi

(D) se a è intero, anche b è intero

(E) 2a è intero.

Come ogni esercizio delle Olimpiadi, è divertente solo se ci si pensa un po' da soli, quindi prima di scorrere in basso la pagina pensateci un po'.

 

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... sicuro di averci pensato abbastanza? ...

 

 

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Soluzione. Il testo ci dice che, utilizzando l'ipotesi noiosa che non abbiamo letto, non possiamo dedurre una delle cinque affermazioni (mentre possiamo dedurre le altre quattro). Non avendo molto a disposizione, vediamo le implicazioni tra le varie affermazioni.

Osserviamo che se riusciamo a dedurre "(C) a, b, c sono interi", allora in particolare c, 2a e a+b+c sono interi ovvero deduciamo anche (A), (B) ed (E). Inoltre se è vera (C) a e b sono interi e pertanto l'implicazione "(D) se a è intero, anche b è intero" è vera.

Quindi, se possiamo dedurre (C) deduciamo tutte e cinque le affermazioni. Poiché sappiamo che una delle cinque non riusciamo a dedurla, questa deve essere necessariamente l'affermazione (C).


Per chi fosse curioso, il testo originale era stato pensato come un esercizio di algebra, e l'ipotesi noiosa che non abbiamo avuto voglia di leggere era "Il polinomio ax^2+bx+c  assume valori interi per ogni valore intero della variabile x." Provate a risolverlo ora, pensando di dover risolvere un problema di algebra.

Voi conoscete altri casi in cui bastava leggere la domanda e le soluzioni per rispondere, senza considerare le ipotesi e l'argomento dell'esercizio?

Alberto Saracco

Alberto Saracco

5 Comments

  1. .mau.

    06/02/2017 at 14:37

    La logica è bellissima e l'ho apprezzata molto. Però avrei fatto più in fretta a risolvere il problema guardando l'ipotesi noiosa (soprattutto l'ipotesi (E) ti fa trovare un controesempio facile che invalida (C))

    • Alberto Saracco

      07/02/2017 at 07:59

      Caro .mau., sono d'accordo che il controesempio diretto fosse più veloce.
      Ma... quando dici che (E) ti suggerisce il controesempio a (C) stai dicendo che -in maniera inconscia- ti sei accorto che (C) implica (E) e non viceversa.
      Questo esempio è poi un caso estremo. Solitamente ragionamenti logici sulle risposte consentono di scartare alcune (e possono fornire suggerimenti sul come trovare la risposta, come osservavi).
      Personalmente non ricordo come avessi risolto questo esercizio 19 anni fa, da studente di quinta superiore.

      • .mau.

        07/02/2017 at 13:49

        (comunque te la rubo per i quizzini della domenica...)

        • Alberto Saracco

          07/02/2017 at 13:59

          Ruba pure! 😉

  2. Pietro Majer

    07/02/2017 at 10:33

    L'unica obiezione che si può fare alle Olimpiadi di Matematica è il nome. Sarebbe un po' come chiamare Certame Poetico una competizione di rima baciata 😀

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