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Inizia la nuova rubrica Curiosità olimpiche a cura di Alberto Saracco. Questa rubrica vuole raccogliere esercizi curiosi e particolari dal grande mare di esercizi che sono stati proposti in decenni di gare olimpiche, locali, provinciali, nazionali, individuali o a squadre. C’è un esercizio, problema o dimostrazione che secondo voi ha un qualcosa di unico? Segnalateceli!
1 – RISOLVERE IL PROBLEMA SENZA LEGGERE LE IPOTESI

Una delle capacità indubbiamente utili nei giochi matematici a risposta multipla (come i giochi di Archimede o le gare distrettuali delle Olimpiadi) è quella di escludere le risposte sicuramente sbagliate. Siccome i punteggi dati a risposte esatte, sbagliate e non date sono fatti in modo che tirando a indovinare la risposta o lasciando in bianco si abbia la stessa speranza matematica di punteggio, non appena riesco ad eliminare una risposta come certamente sbagliata, conviene tirare a indovinare.

Ovviamente il caso migliore è quando si riescono ad eliminare ben quattro risposte (certamente sbagliate) su cinque: così facendo abbiamo trovato la risposta giusta.

Il caso più curioso di questo tipo è sicuramente un problema della gara provinciale del 1998: un problema a cui si può rispondere semplicemente leggendo le risposte. senza leggere le ipotesi. Voi riuscite a farlo?

Problema.  Ipotesi noiosa che evitiamo di leggere. Quale delle seguenti affermazioni non può essere dedotta?

(A) c è intero

(B) a+b+c è intero

(C) a, b, c sono interi

(D) se a è intero, anche b è intero

(E) 2a è intero.

Come ogni esercizio delle Olimpiadi, è divertente solo se ci si pensa un po’ da soli, quindi prima di scorrere in basso la pagina pensateci un po’.

 

 

 

 

 

 

 

 

… sicuro di averci pensato abbastanza? …

 

 

 

 

 

 

 

 

Soluzione. Il testo ci dice che, utilizzando l’ipotesi noiosa che non abbiamo letto, non possiamo dedurre una delle cinque affermazioni (mentre possiamo dedurre le altre quattro). Non avendo molto a disposizione, vediamo le implicazioni tra le varie affermazioni.

Osserviamo che se riusciamo a dedurre “(C) a, b, c sono interi”, allora in particolare c, 2a e a+b+c sono interi ovvero deduciamo anche (A), (B) ed (E). Inoltre se è vera (C) a e b sono interi e pertanto l’implicazione “(D) se a è intero, anche b è intero” è vera.

Quindi, se possiamo dedurre (C) deduciamo tutte e cinque le affermazioni. Poiché sappiamo che una delle cinque non riusciamo a dedurla, questa deve essere necessariamente l’affermazione (C).


Per chi fosse curioso, il testo originale era stato pensato come un esercizio di algebra, e l’ipotesi noiosa che non abbiamo avuto voglia di leggere era “Il polinomio $$ax^2+bx+c$$  assume valori interi per ogni valore intero della variabile $$x$$.” Provate a risolverlo ora, pensando di dover risolvere un problema di algebra.

Voi conoscete altri casi in cui bastava leggere la domanda e le soluzioni per rispondere, senza considerare le ipotesi e l’argomento dell’esercizio?

Alberto Saracco

Alberto Saracco

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