Superare la paura della matematica: insegnare matematica astratta agli studenti d'arte

On November 6, 2016

Faccio un lavoro strano: sono Scienziato in Sede presso la Scuola dell'Art Institute di Chicago.1 Quando dico a qualcuno che lavoro faccio, la domanda che segue è "ma che cosa è?". La risposta, in breve, è "il lavoro dei miei sogni". La risposta lunga è l'articolo che segue. [Questo articolo è apparso nel n. 3/2016 di Archimede. Tradotto dall'inglese da Ruggero Pagnan e Pino Rosolini.]

di Eugenia Cheng

Nella prima parte della mia carriera di matematica ho seguito il percorso standard con incarichi di ricerca post-dottorato prima a Cambridge, poi a Chicago e a Nizza, alla fine ho ottenuto una posizione fissa a Sheffield. Ho tenuto corsi di matematica per studenti del corso di laurea in matematica e per studenti del dottorato in matematica. A un certo punto ho realizzato che volevo raggiungere un pubblico più ampio; ho abbandonato la carriera standard per fare qualcosa di molto diverso. Ora insegno matematica a studenti d'arte. È al tempo stesso illuminante e gratificante, stimolante e istruttivo; penso di avere molto da imparare insegnando coscienziosamente a studenti consapevoli che hanno fatto fatica in matematica nel loro percorso scolastico. Ritengo che non abbiamo dato a questi studenti quello che meritavano e che dobbiamo fare di più.

Il corso che insegno non è un corso di recupero, anzi è quasi l'opposto: è un corso di matematica astratta di alto livello resa accessibile a studenti d'arte. Com'è possibile?

C'è un grande dibattito su come insegnare matematica a studenti in difficoltà. Da tempo mi sono convinta che è più facile spiegare materiale di matematica astratta e le sue e motivazioni piuttosto che insegnare i contenuti tipici dei curricula di scuola superiore: soluzione delle equazioni di secondo grado, funzioni e grafici, geometria. C'è un comune accordo sul fatto che il problema è che i ragazzi non apprezzano l'importanza di studiare questi argomenti. Sfortunatamente un modo canonico per gestire questa situazione è di applicare tali tecniche a presunte situazioni di "vita reale" che finiscono francamente per essere contorte. Cito solo due esempi presi da compiti per casa di scuola elementare di figli di miei amici:

"In classe ci sonno 20 bambini. Ciascun alunno riceverà 42 matite e 39 gomme. Quante matite verranno distribuite?"

"Tim ha una corda lunga un metro. Ne taglia il 35% per legare Ben. Poi taglia 0.3m per legare Chris. Quanta corda gli resta per legare Will?"

Chiaramente problemi di "vita reale" che non hanno alcuna parvenza di realtà non servono a nulla per mostrare l'importanza della matematica, mostrano soltanto la mancanza di ingegno degli educatori.

Il mio approccio con gli studenti d’arte è completamente diverso. Essenzialmente, è l'approccio che ho usato nel mio libro, rivolto al grande pubblico, "Biscotti e radici quadrate" –in effetti, è il testo usato nel corso. L'idea che intendo trasmettere è che la matematica è importante per la stragrande maggioranza delle persone non per le sue applicazioni dirette, ma perché mostra come pensare logicamente alle cose. Certamente le applicazioni dirette della matematica sono importanti per gli scienzati, per gli ingegneri, per gli economisti, ma il pericolo di insistere sull'aspetto dell'utilità della matematica è di dare a tutte le alre persone la scusa giusta per metterla da parte e ignorarla. Nel 2015 L'Oréal Paris lanciò una campagna pubblicitaria con Helen Mirren che diceva "L'età è solo un numero. E la matematica non è mai stata il mio forte." L'idea era di celebrare l'età matura, ma, sfortunatamente, nel farlo la campagna pubblicitaria indicava anche l'estraneità della matematica dalla vita reale. (L'Oréal si convinse a cambiare la battuta dopo aver ricevuto pressioni dalla fondazione britannica National Numeracy.).

Invece di focalizzarsi sulle applicazioni, il mio approccio è piuttosto di dire che la matematica riguarda il pensiero logico e, sicuramente, faremmo meglio a pensare più logicamente su tutto, quando è possibile.

Sono contenta di poter dire che gli studenti d’arte hanno risposto benissimo. Sono diversissimi dagli studenti a cui avevo insegnato prima, quasi l'esatto opposto. In precedenza, alle università di Cambridge, Sheffield e Chicago avevo insegnato soltanto a studenti di matematica. La maggior parte di questi erano stati i migliori nella loro classe, trovando facile lo studio della matematica, convinti di essere molto bravi in matematica. La matematica che hanno trovato all'università è stata quasi uno shock per loro. La matematica universitaria è molto diversa dalla matematica scolastica: conta molto meno dare la risposta giusta e molto di più pensare al procedimento corretto. Un esercizio in cui si ottiene la risposta corretta con una dimostrazione sbagliata ottiene una valutazione bassa. Le dimostrazioni e la strutturazione di argomentazioni logiche solitamente sono conoscenze estranee alle matricole. Studenti che, in precedenza, erano bravi macinando derivate e integrali si ritrovano a dover dimostrare il perché le risposte siano effettivamente le derivate e gli integrali, quando prima dovevano soltanto dare la risposta giusta. Spesso non ne capiscono il motivo, e spesso è perché nessuno dice loro qual è questo motivo. Nelle prime settimane di corso con le matricole ero sempre costretta a tenere conto della delusione e del disincanto di studenti che scoprivano di non essere bravi in matematica come pensavano di essere.

Con gli studenti d’arte la mia esperienza è proprio il contrario: molti studenti non erano lontanamente i migliori in matematica nella scuola superiore; la maggioranza faceva fatica con la matematica nelle scuole superiori; alcuni avevano rinunciato a studiarla ed erano semplicemente contenti di non doverla più fare. Dunque perché scelgono di seguire il mio corso?

La SAIC richiede che ogni studente abbia conoscenze ad ampio spettro oltre a quelle nel suo campo specifico. In particolare, deve studiare almeno due materie scientifiche. Ho scritto con cura un programma per il corso mettendo in risalto che sarebbe stato molto diverso da altre esperienze, che non c'erano prerequisiti richiesti e che precedenti successi nella materia non assicuravano necessariamente successo nel corso. Invece di indicare i contenuti del corso in termini degli argomenti che sarebbero stati trattati ho descritto il corso in termini di modi di pensare. Il titolo del corso è "The Elegance of Abstraction: contemporary mathematics", quella che segue è la versione più recente del programma.

Scopi del corso

  1. Fornire un'esperienza di matematica contemporanea astratta di un tipo raramente mostrato ai non-specialisti.
  2. Sviluppare capacità di ragionamento logico e offrire mezzi per valutare l'utilità delle argomentazioni logiche rigorose.
  3. Permettere una comprensione di che cosa sia la matematica e a che cosa serva.

Programma

Piuttosto che concentrarsi su particolari argomenti di matematica il corso avrà la seguente struttura.

  1. Astrazione: il procedimento con cui si passa dal mondo "reale" al mondo "matematico".
  2. Logica: il metodo che usiamo per tutte le scoperte nel mondo matematico.
  3. Assiomatizzazione: il modo in cui si organizza il mondo matematico in modo tale da poter applicare la logica.
  4. Generalizzazione: il modo in cui si crea nuova matematica da vecchia matematica.
  5. Rappresentazione visuale: il modo in cui si esprimono idee astratte e argomentazioni per poterle comunicate.

Durante il corso si otterrà anche una comprensione di vari importanti oggetti matematici tra cui diversi tipi di numeri, diversi tipi di forme, superfici e spazi, tipi di strutture astratte, tipi di infinito, come pure questioni aperte nella ricerca matematica.

Durante tutto il corso l'enfasi è posta sulla matematica come modo di pensare il mondo piuttosto che come un modo per risolvere i problemi. Lo scopo esplicito dei corsi scientifici alla SAIC è di mostrare che la verità scientifica è realizzata per mezzo del metodo scientifico. Per la matematica non è così in quanto non si basa sull'evidenza bensì sulla logica. Così l'enfasi del mio corso è di mostrare a quale tipo di verità e di rivelazioni si può arrivare per mezzo del pensiero logico. Il primo passo è di assicurarsi di essere in un mondo in cui si può applicare la logica ed è così che imposto il processo di astrazione: il mondo reale non si comporta secondo i dettami della logica, così dobbiamo ignorare alcuni dettagli che ci intralciano il passo. Per esempio se prendiamo una banana, poi un'altra banana, abbiamo due banane, ma solo se non le mangiamo. Se prendiamo un verme, poi un altro verme, abbiamo due vermi, ma solo se non muoiono. Dimenticando i dettagli delle caratteristiche di banane e vermi arriviamo al mondo astratto dei numeri. I vantaggi includono il fatto che ora le cose si comportano logicamente, come pure il fatto che tralasciare certi dettagli mette in evidenza similarità tra situazioni diverse nel senso che ora possiamo studiare contemporaneamente situazioni diverse. Gli svantaggi includono il fatto che ci troviamo nel mondo delle idee, non in quello delle cose reali, così stiamo studiando una qualche versione ideale del mondo, non il mondo in sé. Un altro svantaggio è che finché non si acquista dimestichezza, muoversi in questo mondo astratto può essere sconcertante dato che non c'è nulla da vedere, da toccare o con cui giocare. O almeno non nel senso comunemente inteso.

Gli studenti d’arte rispondono molto bene all'idea di astrazione. Dopo tutto, l'arte guarda al mondo intorno a sé e lo interpreta, nel senso che presenta qualcosa che non è proprio come il mondo, ma che sposta l'attenzione su qualche aspetto particolare di esso. Inoltre, gli studenti d’arte sono molto interessati a pensare alle cose e poco preoccupati a produrre risposte. Questo atteggiamento è molto diverso da quello degli studenti di matematica a cui ho insegnato in altre università; a quelli spesso dovevo rammentare ripetutamente che il procedimento è più importante della risposta (non c'è merito nel raggiungere la conclusione corretta se la dimostrazione è errata). D'altro canto, gli studenti d’arte si disinteressano della matematica per quel senso eccessivo di risposte giuste e risposte sbagliate. Tralasciando il fatto che nelle loro esperienze passate avevano trovato troppo spesso la risposta sbagliata, mi spiegano che semplicemente non sono interessati da una parte di mondo dove tutto è giusto o sbagliato. Sono più interessati a pensare a parti del mondo dove non ci sono risposte. Così restano affascinati quando gli presento matematica che non riguarda l'ottenimento della risposta giusta, ma l'analisi di situazioni curiose e lo sviluppo di modi di comprenderle e interpretarle.

Pongo molta cura e attenzione per gestire il rischio di sconcerto preparando esercizi che adoperino il più possibile il disegno e la costruzione di cose. Ogni lezione dura tre ore offrendo il vantaggio di gestire con flessibilità discussioni aperte e esercizi. Ecco alcuni esercizi e attività svolte in aula che gli studenti hanno trovato particolarmente divertenti, intriganti e illuminanti.

Equivalenza omotopica usando Play-Doh

Tazza da caffè e nastro di Möbius fatti con Play-Doh

Tazza da caffè e nastro di Möbius fatti con Play-Doh

L'equivalenza omotopica è un argomento che gli studenti di matematica affrontano in corsi avanzati. Non presento l'equivalenza omotopica nei suoi dettagli tecnici agli studenti d’arte, ma affronto l'idea di forme che sono "deformabili con continuità" in altre forme giocando con Play-Doh. C'è la famosa idea della tazza da caffè (con un manico) che è equivalente a una ciambella (con un buco). Anche in corsi di topologia algebrica svolti con rigore matematico è improbabile che questo venga dimostrato rigorosamente fosse solo perché una tazza da caffè non è un oggetto facilmente definibile matematicamente. Faccio giocare gli studenti con Play-Doh perché vedano come deformare una ciambella (tecnicamente un toro) in una tazzina da caffè. Gli faccio poi deformare un toro in una striscia di Möbius. È interessante vedere quanti tra loro dichiarino immediatamente che è impossibile, e tra le altre cose questo li stimola a pensare alla natura delle dimostrazioni. Gradualmente si rendono conto che non possono dimostrare che è impossibile, perché in effetti è possibile! Taglio anche un bagel2 seguendo la superficie di una striscia di Möbius e gli mostro che il bagel resta di un solo pezzo dato che la superficie di taglio ha una sola faccia. Mentre se lo taglio lungo una striscia con due torsioni, separo il bagel in due pezzi, ma le due metà restano intrecciate a causa delle torsioni.

L'autrice mostra un bagel tagliato seguendo la superficie di un nastro di Möbius

L'autrice mostra un bagel tagliato seguendo la superficie di un nastro di Möbius

Costruzione dei solidi platonici

Faccio costruire solidi platonici agli studenti senza spiegare loro in anticipo come sono fatti. Iniziamo considerando triangoli equilateri e quanti di questi si possono disporre con un vertice in comune. Troviamo che sei si incastrano tra loro sul piano e che di conseguenza non potranno generare un oggetto tridimensionale. Dunque per ottenere un solido tridimensionale dovremmo provare con tre, quattro o cinque triangoli con un vertice in comune. È interessante il salto intuitivo che fanno per capire come tre triangoli si incastrano a produrre una forma tridimensionale; spesso passano parecchio tempo in contemplazione dei tre triangoli sul tavolo senza capire come possano incastrarsi intorno a un punto. Questo accade nonostante abbiano già discusso l'idea di costruire oggetti tridimensionali. È come se fossero così convinti che la matematica avviene scritta su carta che non riescono a fare il salto in tre dimensioni.

Una volta arrivati alla terza dimensione, non è difficile per loro completare la prima forma a un tetraedro e si fermano poi a esaminare le sue simmetrie. Sistemare quattro triangoli con un vertice in comune produce metà di un ottaedro e spesso vogliono poi completare il quadrato vuoto con due triangoli invece che con un'altra metà di ottaedro. Quando questo capita, gli suggerisco di pensare alla simmetria, così si accorgono in fretta che non è sufficientemente simmetrico conducendoli all'ottaedro completo.

Proseguiamo quindi a incastrare cinque triangoli con un vertice comune. A questo punto solitamente una metà circa degli studenti sistema cinque triangoli intorno a un punto e, senza pensare, incolla due parti siffatte a formare una figura tridimensionale usando dieci triangoli. Gli chiedo ancora se c'è abbastanza simmetria e si accorgono che non è così; capiscono che devono fare in modo che ogni vertice appaia come quello originale con cinque triangoli intorno e questo conduce alla costruzione dell'icosaedro.

A questo punto il dodecaedro è ragionevolmente facile. Si vede dapprima che non ci stanno più di tre pentagoni intorno a un punto; quindi facciamo in modo che ogni vertice sia comune a tre pentagoni. Alcuni degli studenti d’arte costruiscono bellissimi solidi platonici col cartone di vari colori che gli fornisco, a motivi regolari e con gli spigoli ben incollati. Curiosamente, altri non hanno alcun interesse per schemi colorati né per la precisione delle incollature.

Reticoli di fattori

Parliamo dell'uso di diagrammi per mostrare collegamenti tra cose. Scriviamo tutti i fattori del numero 30 e ne colleghiamo due con una freccia se il primo è un fattore del secondo. Se poi cancelliamo "frecce composte" (così, per esempio, non serve che ci sia una freccia da 5 a 30 dato che si va da 5 a 30 seguendo la freccia da 5 a 15 con quella da 15 a 30) le frecce possono venir sistemate in un cubo in modo che i fattori siano nei vertici. Lo studente solitamente fa un'esclamazione di sorpresa quando lo vede apparire.

Li faccio poi analizzare la stessa situazione con numeri diversi per capire perché altri numeri si comportino allo stesso modo. Scopriamo che ogni numero con esattamente tre fattori primi produrrà la stessa forma. Studiamo poi il caso con fattori ripetuti scoprendo lentamente che, se ripetiamo i fattori, allineiamo i cubi nella direzione del fattore ripetuto. Per esempio, se analizziamo i fattori di 60 troviamo il fattore 2 ripetuto. Il reticolo di fattori si presenta ora con un cubo, come per 30, con un un altro cubo impilato sopra, ancora come quello per 30, ma con ogni numero moltiplicato per 2. Scopriamo alla fine che, se ripetiamo ogni fattore, otteniamo un "cubo di cubi", cominciando con il cubo iniziale per 30 e piazzando un cubo centrato su ciascun vertice e moltiplicando ogni numero del nuovo cubo per il numero del cubo originale. Prepariamo poi alcuni cubi con il cartone e li incolliamo insieme per migliorare la visualizzazione del cubo di cubi.

Il cubo di cubi dei fattori di 900 disegnato sulla lavagna al SAIC.

Associatività e simplessi

Non capita di solito neppure agli studenti di matematica di vedere il collegamento tra l'associatività e i simplessi. A questo punto del corso ho già introdotto elementi di teoria delle categorie inclusi gli assiomi; così gli studenti sanno gestire frecce e composizioni, in particolare l'associatività della composizione. Abbiamo già disegnato il diagramma triangolare con due frecce e la loro composta. Faccio preparare agli studenti i diagrammi di composizione che coinvolgono tre frecce componibli su triangoli di carta e li lascio provare a sistemarli insieme come un puzzle. I triangoli si sistemano a formare un tetraedro e, di solito, gli studenti sono sbalorditi. Gli chiedo allora di studiare che cosa avvenga con quattro frecce componibili. Spesso si confondono e disegnano selve di frecce sui fogli. Qualcuno però si rende conto che non è detto che la sistemazione sia ancora tridimensionale. Alla fine disegno il diagramma del 4-simplesso risultante sulla lavagna e parliamo di come generalizzare questo a più frecce in dimensioni maggiori.

Associaedri

Gli associaedri fanno parte di aspetti avanzati di topologia che la maggior parte dei laureati in matematica non vedrà se non svolge ricerche in topologia o campi correlati. Li affronto con i miei studenti verso la fine del corso quando hanno fatto molta pratica con la nozione di trasformare idee in forme e sistemare insieme tali forme in un puzzle schematico. Iniziamo considerando l'associatività per mezzo di alberi binari, cioè alberi dove ogni diramazione consiste esattamente di due rami. L'associatività diventa l'azione di "far scorrere" una sottoramificazione da un lato di una biforcazione all'altro.

Analizziamo poi tutti i possibili alberi binari con quattro foglie e i modi per far scorrere un ramo da sinistra a destra. Questo produce il pentagono di Mac Lane che è un elemento fondamentale di teoria delle categorie di dimensione superiore. Studiamo quindi tutti i possibili alberi con cinque foglie. Scopriamo dapprima che si ottengono sei copie del pentagono di Mac Lane, ciascuna con un ramo in più aggiunto. A questo punto chiedo agli studenti di ritagliare questi pentagoni e incollarli insieme producendo una struttura tridimensionale con interessanti simmetrie e irregolarità, e tre buchi a quattro lati. Si chiama 5-associaedro, governa le regole dell'associatività con cinque oggetti ed è una struttura cruciale in teoria delle categorie di dimensione superiore, una materia d'avanguardia massima nella ricerca in matematica pura.

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Associatività e alberi binari a quattro foglie

Associatività e alberi binari a quattro foglie

Ho svolto il mio lavoro per il titolo di PhD a Cambridge in teoria delle categorie di dimensione superiore. Durante il mio esame finale, un esaminatore mi chiese se pensavo che avrei mai avuto occasione di insegnare teoria delle categorie di dimensione superiore in un corso di prima laurea. Non avrei mai immaginato che sarei finita a insegnarlo come parte di un corso di prima laurea a studenti d’arte. Si tratta di una materia ai massimi confini dell'astrazione, anche per matematici astratti. Molti, forse quasi tutti, i matematici puri non sanno che cos'è un associaedro, né qual è la sua importanza. Eppure ho presentato questo argomento a studenti d’arte di sei anni diversi, generando ogni volta incanto e sorpresa. Alcuni tra gli studenti non sanno fare calcoli elementari come 6×7 o 27 diviso per 3. Alcuni sanno risolvere equazioni di primo grado, ma praticamente nessuno sa risolvere sistemi di equazioni o equazioni di secondo grado. Però sono rimasti affascinati dall'equivalenza omotopica e da aspetti di teoria delle categorie di dimensione superiore.

Non solo affascinati, gli studenti sono convinti che questo genere di matematica sia molto più rilevante per loro piuttosto che risolvere equazioni o dimostrare oscuri fatti geometrici come quelli a cui erano stati esposti nella scuola superiore e su cui avevano sostanzialmente fallito. Riporto commenti di studenti prodotti in un esercizio che propongo a loro al termine del corso: chiedo di confrontare il sentimento che provavano per la matematica all'inizio del corso con quello al termine del corso.

Associaedro -- per costruirlo si veda l'immagine sottostante

Associaedro -- per costruirlo si veda l'immagine sottostante

"La matematica crea schemi affascinanti di reale bellezza geometrica. Pensavo che la matematica fosse fissa perché offriva sempre una sola risposta."

"Sembra che le scuole in tutto il mondo abbiano saputo tenere il segreto con i loro studenti di quanto sia divertente la matematica, che dà veramente fastidio. Credo che se più ragazzi avessero avuto un'esperienza più astratta con la matematica ci sarebbe più gente che sarebbe deliziata dalla matematica. La matematica per me non è più soltanto 'trovare la x'. Trovo che fornisca più spiegazioni e che sia interna piuttosto che esterna. Credo che apprezzerò enormemente di usare la matematica nella mia pratica artistica. Sì, la matematica è diventata anche arte per me."

"Prima risolvere equazioni matematiche era per me molto noioso e difficile, e ora mi piace svolgere attività risolvendo problemi. Ricordo quella volta che, mentre stavo cercando di riempire la tabellla delle simmetrie di un quadrato [la tavola di Cayley del gruppo di simmetrie], un mio amico mi guardava ed era così confuso dal vedermi girare la forma quadrata avanti e indietro che mi chiese se stavo veramente facendo mate."

Conclusioni

Le mie esperienze insegnando questo corso hanno confermato molte convinzioni sostenute in precedenza soltanto da istinto viscerale e deduzione logica, e che ora posso sostenere con qualche evidenza empirica.

  1. Le parti della matematica concrete e calcolistiche sono cruciali per campi di ricerca matematica nella scienza, nell'ingegneria e nell'economia, ma la matematica astratta è più utile e di maggior rilievo per coloro che sono in campi non-matematici.
  2. Chi non ha ottenuto buoni risultati nella matematica scolastica tradizionale può ancora entusiasmarsi e restare colpito dalla matematica astratta se insegnata in modo non tradizionale, mettendo in luce i processi mentali ed enfatizzando meno i fatti.
  3. Accentuare l'utilità diretta della matematica (come mezzo di calcolo) non ispira coloro ai quali non serviranno mai strumenti di calcolo–e che costituiscono una buona parte della società. D'altro canto, accentuare l'utilità indiretta della matematica come modo di pensare più chiaramente può ispirare e motivare queste persone.
  4. Imporre abilità in aritmetica come livello necessario per accedere alle matematiche superiori produce un disservizio sia per gli studenti sia per la matematica.
  5. È possibile–e vale la pena–trasmettere idee di matematica anche molto avanzata a studenti senza abilità matematiche da scuola superiore. Nel corso abbiamo analizzato parti di analisi tra cui le successioni di Cauchy e la costruzione dei numeri reali, teoria degli insiemi con aritmetica ordinale e aritmetica cardinale, teoria dei gruppi, topologia algebrica, e teoria delle categorie.

La mia esperienza di insegnamento della matematica agli studenti d’arte ha confermato la mia convinzione che la fobia della matematica può essere affrontata e superata.

Eugenia Cheng
School of the Art Institute of Chicago, 112 S. Michigan
AvenueChicago, IL 60603, USA
e.cheng@sheffield.ac.uk


Note

1 NdT: L'Art Institute di Chicago è il principale museo d'arte di Chicago e uno dei più importanti musei negli Stati Uniti. La School of the Art Institute of Chicago (SAIC nel seguito) è l'università collegata ad esso; offre lauree in arte e materie collegate quali architettura, fotografia, design, ecc.
2 NdT: Un bagel è un pane della tradizione ebraica. Molto semplice, a forma di grosso anello, consiste di pasta lievitata fatta dapprima bollire in acqua, poi infornata. È molto comune in USA e in Canada.

Per costruire il solido del 5-associaedro di cui si parla nel testo, ritagliare la sagoma lungo le linee continue e piegare lungo le linee tratteggiate; incollare poi le linguette sotto alle facce. Sul pentagono centrale sono disegnati gli alberi binari del 4- associaedro.

Per costruire il solido del 5-associaedro di cui si parla nel testo, ritagliare la sagoma lungo le linee continue e piegare lungo le linee tratteggiate; incollare poi le linguette sotto alle facce.
Sul pentagono centrale sono disegnati gli alberi binari del 4- associaedro.

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